Rayon d'Einstein

Géométrie d'une lentille gravitationnelle

Dans la détermination suivante du rayon d'Einstein, il est supposé que toute masse M de la "galaxie lentille" (L) est concentrée au centre de la galaxie.

Pour une masse ponctuelle (M), selon la métrique de Schwarzschild et pour un petit αb₁, la déviation totale est donnée par[note 1] :

${\displaystyle \alpha _{1}={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b_{1}}}}$

où

b₁ est le paramètre d'impact, i.e. la distance la plus courte d'approche du centre de masse pour un rayon de lumière,

G est la constante gravitationnelle,

c est la vitesse de la lumière.

Pour de petits angles et avec l'angle exprimé en radian, le point d'approche le plus court b₁ à un angle θ₁ pour la lentille L à une distance d_L est donné par b₁ = θ₁d_L. Avec ce résultat, l'angle α₁ peut être réexprimé sous la forme :

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta _{1}}}{\frac {1}{d_{\rm {L}}}}}$ (eq. 1)

Si θ_S est l'angle sous lequel un observateur pourrait voir la source sans la lentille, et θ₁ est l'angle observé de l'image de la source par rapport à la lentille, alors la distance verticale sous-tendue par l'angle θ₁ à la distance d_S est la même que la somme des deux distances verticales θ_S d_S et α₁ d_LS. Cela donne l'équation de lentille

${\displaystyle \theta _{1}\;d_{\rm {S}}=\theta _{\rm {S}}\;d_{\rm {S}}+\alpha _{1}\;d_{\rm {LS}}}$

qui peut être réécrite sous la forme :

${\displaystyle \alpha _{1}(\theta _{1})={\frac {d_{\rm {S}}}{d_{\rm {LS}}}}(\theta _{1}-\theta _{\rm {S}})}$ (eq. 2)

En égalisant la première équation avec la deuxième, cela donne :

${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{1}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {S}}d_{\rm {L}}}}}$

Pour une source située directement en arrière de la lentille, θ_S = 0, l'équation de lentille pour une masse ponctuelle donne la valeur caractéristique pour θ₁ qui est appelée rayon d'Einstein, dénoté θ_E. En plaçant θ_S = 0 et en résolvant pour θ₁ donne

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {L}}d_{\rm {S}}}}\right)^{1/2}}$

Le rayon d'Einstein pour une masse ponctuelle donne une échelle linéaire pratique pour rendre les variables lenticulaires sans dimension. En termes de rayon d'Einstein, l'équation de lentille devient :

${\displaystyle \theta _{1}=\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{1}}}}$

En remplaçant par les constantes, cela donne :

${\displaystyle \theta _{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {d_{\rm {L}}d_{\rm {S}}/d_{\rm {LS}}}{\rm {Gpc}}}\right)^{-1/2}{\rm {arcsec}}}$

Dans la dernière forme, la masse est exprimée en masses solaires (M_☉) et la distance en giga-parsec (Gpc). Le rayon d'Einstein est ainsi à son maximum pour une lentille située à mi-chemin entre la source et l'observateur.

De la même manière, pour le rayon de lumière qui atteint l'observateur en passant par le bas de la lentille, nous avons

${\displaystyle \theta _{2}\;d_{\rm {S}}=-\;\theta _{\rm {S}}\;d_{\rm {S}}+\alpha _{2}\;d_{\rm {LS}}}$

et

${\displaystyle \theta _{2}+\theta _{\rm {S}}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta _{2}}}\;{\frac {d_{\rm {LS}}}{d_{\rm {S}}d_{\rm {L}}}}}$

et donc

${\displaystyle \theta _{2}=-\;\theta _{\rm {S}}+{\frac {\theta _{E}^{2}}{\theta _{2}}}}$

La démonstration précédente peut être utilisée pour les lentilles qui ont une masse distribuée plutôt qu'une masse ponctuelle en utilisant une expression différente pour l'angle de courbure α.

La position θ_I(θ_S) des images peut alors être calculée. Pour une petite déviation, cette cartographie est biunivoque et consiste en des distorsions des positions observées qui sont inversibles. Ce phénomène est appelé une lentille gravitationnelle faible. Pour une grande déviation, il peut y avoir plusieurs images et la cartographie est non-inversible : ce phénomène est appelé une lentille gravitationnelle forte.

Pour un amas dense ayant une masse M_c ≈ 10 × 10¹⁵ M_☉ située à une distance d'un giga-parsec (1 Gpc), le rayon d'Einstein peut atteindre 100 arc-sec (appelé macro-lentille).

Pour une microlentille gravitationnelle (avec une masse d'un ordre de 1 M_☉) pour des distances galactiques (disons d ~ 3 kpc), le rayon d'Einstein typique serait de l'ordre de la milliseconde d’arc. En conséquence, il est très difficile d'en observer avec les limites instrumentales actuelles.

Pour obtenir une répartition de masse comme celle d'un anneau d'Einstein, il faut qu'il y ait une symétrie axiale parfaite.

• Lentille gravitationnelle
• Anneau d'Einstein

• Étude de la déflexion de la lumière comme test d’une théorie de la gravitation., Université catholique de Louvain