Réflectivité bidirectionnelle

Pour caractériser le transfert radiatif on utilise la luminance énergétique ${\displaystyle L_{\nu }(\nu ,\mathbf {\Omega } )}$ (ou densité spectrale de luminance énergétique), en J⋅m^-2⋅sr^-1, définie comme la quantité d'énergie radiative ${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {E}}_{\nu }}$ émise dans un intervalle de fréquence ${\displaystyle \mathrm {d} \nu }$, dans un angle solide ${\displaystyle \mathrm {d} \Omega =\mathrm {s} in\theta ~\mathrm {d} \theta ~\mathrm {d} \phi }$, traversant l'aire élémentaire ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma =\mathrm {d} S~\cos \theta }$ durant le temps ${\displaystyle \mathrm {d} t}$

${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {E}}_{\nu }=L_{\nu }~\mathrm {d} \sigma ~\mathrm {d} \nu ~\mathrm {d} \Omega ~\mathrm {d} t}$

On suppose que le matériau est suffisamment opaque pour que l'on puisse ignorer

• une éventuelle partie transmise à travers le matériau ;
• un décalage spatial notable entre le point d'arrivée du photon incident et celui du photon réémis.

La luminance sortante est donnée par le produit de convolution reliant tous les rayons incidents autour de la direction ${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{i}}$ qui génèrent un rayon sortant dans la direction ${\displaystyle \mathbf {\Omega } _{r}}$

${\displaystyle L_{\nu }(\mathbf {\Omega } _{r})=\int _{2\pi }f_{\nu }(\mathbf {\Omega } _{i},\mathbf {\Omega } _{r})~L_{\nu }(\mathbf {\Omega } _{i})~\mathrm {d} \Omega _{i}=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}f_{\nu }(\theta _{i},\phi _{i},\theta _{r},\phi _{r})~L_{\nu }(\theta _{i},\phi _{i})~\mathrm {sin\theta _{i}~cos\theta _{i}~d\theta _{i}~d\phi _{i}} }$

• C'est une probabilité donc

${\displaystyle f_{\nu }\geq 0}$

• Réciprocité (théorème de réciprocité de Lorentz basé sur la linéarité des phénomènes physiques mis en jeu) : principe que l'on peut illustrer par la formule "si, après n'importe quel cheminement de la lumière, je peux vous voir, alors vous pouvez me voir".

${\displaystyle f_{\nu }(\mathbf {\Omega } _{i},\mathbf {\Omega } _{r})=f_{\nu }(\mathbf {\Omega } _{r},\mathbf {\Omega } _{i})}$

• Conservation de l'énergie : le flux (exitance) réémis est inférieur ou égal au flux incident (il peut y avoir une absorption)

${\displaystyle \int _{2\pi }f_{\nu }(\mathbf {\Omega } _{i},\mathbf {\Omega } _{r})~\mathrm {cos\theta _{i}~d\Omega _{i}} \leq 1}$

• Si le problème est de révolution autour de la normale à la surface il n'y a plus de dépendance en ${\displaystyle \phi _{i}}$ et ${\displaystyle \phi _{r}}$ séparément mais seulement en ${\displaystyle \phi _{r}-\phi _{i}}$, ce qui fait passer de 4 à 3 le nombre de variables.
• La présence d'une réflexion spéculaire gêne considérablement la représentation dans la mesure où il est difficile de capturer numériquement un lobe étroit. D'où l'idée d'effectuer une rotation des axes dans lesquels on représente la BRDF pour chaque rayon incident de façon à renvoyer le rayon réfléchi éventuel vers une région dédiée à une description détaillée[4].