Règle des signes de Descartes

La règle stipule que si les coefficients d'un polynôme à une variable à coefficients réels sont ordonnés par ordre décroissant (ou croissant) des degrés, le nombre de racines strictement positives comptées avec leur multiplicité du polynôme est le nombre de changements de signe entre deux coefficients consécutifs non nuls, éventuellement diminué d'un nombre pair[1] - [2].

Comme corollaire de la règle, le nombre de racines strictement négatives est le nombre de changements de signe après multiplication des coefficients des termes de puissance impaire par -1, ou diminué par un nombre pair. Cette procédure équivaut à substituer l'opposé de la variable à la variable elle-même. Par exemple, pour trouver le nombre de racines négatives de

${\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}$,

nous demandons de manière équivalente combien de racines positives il y a pour ${\displaystyle -x}$ dans

${\displaystyle f(-x)=a(-x)^{3}+b(-x)^{2}+c(-x)+d=-ax^{3}+bx^{2}-cx+d\equiv g(x)}$.

La règle des signes de Descartes pour ${\displaystyle g(x)}$ donne le nombre de racines positives ${\displaystyle x_{i}}$ de ${\displaystyle g(x)}$ , et comme ${\displaystyle g(x)=f(-x)}$ cela donne le nombre de racines négatives ${\displaystyle (-x_{i})}$ de f.

Le polynôme

${\displaystyle f(x)=+x^{3}+x^{2}-x-1}$

a un changement de signe entre les deuxième et troisième termes (la suite des paires successives de signes est + +, + −, − −). Par conséquent, il a exactement une racine positive. Notez que le signe principal doit être pris en compte bien que, dans cet exemple particulier, il n'a pas d'incidence sur la réponse. Pour trouver le nombre de racines négatives, changer les signes des coefficients des termes d'exposants impairs, c'est-à-dire, appliquer la règle de Descartes des signes pour le polynôme ${\displaystyle f(-x)}$ pour obtenir un second polynôme

${\displaystyle f(-x)=-x^{3}+x^{2}+x-1}$.

Ce polynôme a deux changements de signe (la suite des paires successives de signes est − +, + +, + −), ce qui signifie que ce deuxième polynôme a deux ou aucune racines positives ; ainsi le polynôme d'origine a deux ou aucune racines négatives.

En fait, la factorisation du premier polynôme est

${\displaystyle f(x)=(x+1)^{2}(x-1),}$

ainsi, les racines sont −1 (deux fois) et 1.

La factorisation du deuxième polynôme est

${\displaystyle f(-x)=-(x-1)^{2}(x+1)}$

donc ici, les racines sont 1 (deux fois) et −1, les opposés des racines du polynôme d'origine.

Le polynôme

${\displaystyle f(x)=x^{3}-1\,,}$

a un changement de signe, donc le nombre maximum de racines réelles positives est 1.

${\displaystyle f(-x)=-x^{3}-1}$,

nous pouvons dire que le polynôme n'a aucune racine réelle négative. Donc, le nombre minimum de racines complexes est

${\displaystyle 3-(1+0)=2}$.

Puisque les racines complexes d'un polynôme à coefficients réels sont des paires conjuguées, nous pouvons voir que x³ − 1 a exactement 2 racines complexes et 1 racine réelle (positive).

• Racine d'un polynôme réel ou complexe
• Théorème de Sturm
• Racine évidente
• Théorème de Gauss-Lucas
• Théorème de Budan

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• Descartes’ Rule of Signs — Preuve de la règle
• Descartes’ Rule of Signs — explications de base