Quasi-catégorie

Par définition, une quasi-catégorie C est un ensemble simplicial satisfaisant les conditions internes de Kan : toute « corne de C » (application simpliciale de ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}$ dans C avec ${\displaystyle 0<k<n}$) possède un prolongement de ${\displaystyle \Delta [n]}$ dans C. (Voir Fibration de Kan (en) pour une définition des ensembles simpliciaux ${\displaystyle \Delta [n]}$ et ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}$.)

L'idée est que les 2-simplexes sont censés représenter des triangles commutatifs (au moins à homotopie près). Une application représente une paire composable. Ainsi, dans une quasi-catégorie, on ne peut pas définir de loi de composition sur les morphismes, puisqu’il existe différentes façons de composer les applications.

Il résulte de cette définition que ${\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}$ est une fibration de Kan triviale. En d'autres termes, bien que la loi de composition ne soit pas définie de manière unique, elle est unique à un choix contractile près.

À toute quasi-catégorie C, on peut associer une catégorie usuelle hC, appelée la catégorie homotopique (en) de C. Les objets de la catégorie homotopique sont les sommets de C. Les morphismes sont donnés par les classes d'homotopie d'arêtes entre sommets. La composition est donnée en utilisant la condition de « remplissage de corne » pour n = 2.

Pour un ensemble simplicial général, il existe un foncteur ${\displaystyle \tau _{1}}$ de sSet dans Cat, appelé foncteur fondamental et, pour une quasi-catégorie C, la catégorie fondamentale et la catégorie homotopique sont identiques ; c'est-à-dire ${\displaystyle \tau _{1}(C)=hC}$.

• Le nerf d'une catégorie est une quasi-catégorie vérifiant la propriété supplémentaire que le remplissage de toute corne intérieure est unique. Inversement, une quasi-catégorie telle que tout corne intérieure possède un remplissage unique est isomorphe au nerf d’une catégorie. La catégorie homotopique du nerf de C est isomorphe à C.
• Étant donné un espace topologique X, on définit son ensemble singulier S(X). C'est un ensemble simplicial également connu sous le nom ∞-groupoïde fondamental de X. S(X) est une quasi-catégorie dans laquelle chaque morphisme est inversible. La catégorie homotopique de S(X) est le groupoïde fondamental de X.
• D’une façon plus générale, tout complexe de Kan (en) est un exemple de quasi-catégorie. Dans un complexe de Kan, les applications de toutes les cornes, pas uniquement celles des cornes intérieures, peuvent toutes être remplies, ce qui a pour conséquence que tous les morphismes d'un complexe de Kan sont inversibles. Les complexes de Kan sont donc analogues aux groupoïdes en ce sens que le nerf d'une catégorie est un complexe de Kan si et seulement si la catégorie est un groupoïde.