Quadruplet premier

Le plus petit quadruplet premier est (5, 7, 11, 13). Les quadruplets premiers suivants sont tous de la forme (30n+11, 30n+13, 30n+17, 30n+19), où n est un entier naturel. Ces quatre nombres ont pour centre de symétrie 30n + 15, multiple impair de 15.

Les quadruplets premiers jusqu'à 100 000 sont :

• de 0 à 100, 2 occurrences : (5, 7, 11, 13) ; (11, 13, 17, 19) ;
• de 101 à 250, 2 occurrences : (101, 103, 107, 109) ; (191, 193, 197, 199) ;
• de 251 à 500, 0 occurrence ;
• de 501 à 1 000, 1 occurrence : (821, 823, 827, 829) ;
• de 1 001 à 2000, 2 occurrences : (1 481, 1 483, 1 487, 1 489) ; (1 871, 1 873, 1 877, 1 879) ;
• de 2 001 à 5 000, 3 occurrences : (2 081, 2 083, 2 087, 2 089) ; (3 251, 3 253, 3 257, 3 259) ; (3 461, 3 463, 3 467, 3 469) ;
• de 5 001 à 10 000, 2 occurrences : (5 651, 5 653, 5 657, 5 659) ; (9 431, 9 433, 9 437, 9 439) ;
• de 10 001 à 25 000, 9 occurrences : (13 001, 13 003, 13 007, 13 009) ; (15 641, 15 643, 15 647, 15 649) ; (15 731, 15 733, 15 737, 15 739) ; (16 061, 16 063, 16 067, 16 069) ;(18 041, 18 043, 18 047, 18 049) ; (18 911, 18 913, 18 917, 18 919) ; (19 421, 19 423, 19 427, 19 429) ; (21 011, 21 013, 21 017, 21 019) ; (22 271, 22 273, 22 277, 22 279) ;
• de 25 001 à 50 000, 4 occurrences : (25 301, 25 303, 25 307, 25 309) ; (31 721, 31 723, 31 727, 31 729) ; (34 841, 34 843, 34 847, 34 849) ; (43 781, 43 783, 43 787, 43 789) ;
• de 50 001 à 75 000, 6 occurrences : (51 341, 51 343, 51 347, 51 349) ; (55 331, 55 333, 55 337, 55 339) ; (62 981, 62 983, 62 987, 62 989) ; (67 211, 67 213, 67 217, 67 219) ; (69 491, 69 493, 69 497, 69 499) ; (72 221, 72 223, 72 227, 72 229) ;
• de 75 001 à 100 000, 7 occurrences : (77 261, 77 263, 77 267, 77 269) ; (79 691, 79 693, 79 697, 79 699) ; (81 041, 81 043, 81 047, 81 049) ; (82 721, 82 723, 82 727, 82 729) ;(88 811, 88 813, 88 817, 88 819) ; (97 841, 97 843, 97 487, 97 489) ; (99 131, 99 133, 99 137, 99 139).

Une constante de Brun, notée B₄ pour ces quadruplets de nombres premiers, est la somme des inverses de tous les nombres premiers de ces quadruplets :

${\displaystyle B_{4}=\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+{\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{101}}+{\frac {1}{103}}+{\frac {1}{107}}+{\frac {1}{109}}\right)+\cdots }$.

La valeur approchée de cette constante est :

B₄ = 0,87058 83800 ± 0,00000 00005.

On ignore s'il existe un nombre infini de tels quadruplets de nombres premiers.

Démontrer la conjecture des nombres premiers jumeaux ne suffit pas pour démontrer qu'il existe aussi une infinité de quadruplets de nombres premiers.

Inversement, si on parvient à démontrer qu'il existe une infinité de quadruplets premiers, la conjecture des nombres premiers jumeaux sera démontrée comme conséquence.

En utilisant Mathematica, on peut chercher les multiples de 15 qui centrent ces quadruplets de nombres premiers, en exécutant les commandes suivantes (on peut substituer un autre entier à 10 000 dans la fonction Range[] si on le désire) :

Select[Range[10000], PrimeQ[# * 15 - 4] && PrimeQ[# * 15 - 2] && PrimeQ[# * 15 + 2] && PrimeQ[# * 15 + 4] &]
% * 15

Un des plus grands quadruplets premiers connu est centré autour de : 10⁶⁹⁹ + 547 634 621 255.

Depuis avril 2012, le plus grand quadruplet premier connu possède 3 024 chiffres (en base 10)[1]. Il a été trouvé par Peter Kaiser et commence par : p = 43 697 976 428 649 × 2^{9 999} − 1.

La plus petite distance possible entre deux quadruplets premiers (p, p+2, p+6, p+8) et (P, P+2, P+6, P+8) est P - p = 30 (on le vérifie par exemple en étudiant les unités de l'anneau Z/30Z). Les trois premières occurrences de tels couples de quadruplets sont en p=1 006 301, p=2 594 951, et p=3 919 211.

• Triplet premier
• Quintuplet premier

• Suite  A007530 de l'OEIS, début de la liste des premiers termes des quadruplets premiers (p tels que (p, p+2, p+6, p+8) est un quadruplet premier) ;
• Suite  A136162 de l'OEIS, début de la liste des quadruplets premiers ;
• Suite  A014561 de l'OEIS, liste des entiers naturels n, tels que (30n + 11, 30n+13, 30n+17, 30n+19) est un quadruplet premier.