Analyse du quadrupôle
Soit une distribution
de charges
aux points
. Cette distribution
à support compact crée à une grande distance des charges (pour
, avec
longueur caractéristique de la distribution) un potentiel
.
On définit :
![{\displaystyle {\vec {r_{i}}}={\vec {OP_{i}}}}](https://img.franco.wiki/i/9b84949b7a7754b2ca996ec0b0b4babf637c36c1.svg)
la somme des charges
, indépendant de
si
, nul si
est choisi barycentre des charges
, le moment d'inertie par rapport à ![O](https://img.franco.wiki/i/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg)
, l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à ![O](https://img.franco.wiki/i/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg)
, l'opérateur linéaire quadrupolaire en ![O](https://img.franco.wiki/i/9d70e1d0d87e2ef1092ea1ffe2923d9933ff18fc.svg)
On peut vérifier que
est de trace nulle :
.
Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante
du tenseur quadrupolaire est
, où
est le symbole de Kronecker.
Développement quadrupolaire
Théorème :
, avec ![{\displaystyle {\vec {u}}={\frac {\vec {r}}{r}}}](https://img.franco.wiki/i/24149723bb9c270e1808a8ff11a78120942dc756.svg)
En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.
Cas particulier : axe de symétrie
Lorsque
possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et
est diagonale.
Si on suppose la symétrie autour de l'axe
, alors la matrice des moments est
et
.
Si
n'est pas nul, on choisit
en
, et alors :
, avec
(3e polynôme de Legendre).
Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas,
< 0 ; l'usage est de poser
.
Le potentiel terrestre est ainsi
.
Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en
(octupolaire),
, etc.).