Formule de MacCullagh

Schéma permettant de comprendre les calculs menant à la formule de MacCullagh

En coordonnées sphériques, désignons la composante radiale du vecteur-position ${\displaystyle \mathbf {r} }$ d'un point potentié ${\displaystyle P}$ par ${\displaystyle r}$, et celle du vecteur-position ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ d'un point potentiant ${\displaystyle P'}$ par ${\displaystyle r'}$. L'origine ${\displaystyle O}$ du système de coordonnées est pour le moment encore arbitraire. L'angle compris entre les vecteurs ${\displaystyle \mathbf {r} }$ et ${\displaystyle \mathbf {r'} }$ est noté ${\displaystyle \psi }$ et l'élément de masse en ${\displaystyle P'}$ est ${\displaystyle \mathrm {d} M(\mathbf {r'} )}$, la masse totale du corps B étant ${\displaystyle M}$. Sous ces conditions, le potentiel gravitationnel[note 1] ${\displaystyle V(P)}$ engendré au point ${\displaystyle P}$ par le corps B peut s'écrire en toute généralité

${\displaystyle V(P)=G\int _{M}{\frac {1}{\|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|}}\,\mathrm {d} M(\mathbf {r'} )}$,

avec

${\displaystyle \|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|=r{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}$.

La constante ${\displaystyle G}$ dénote la constante de gravitation de Newton.

Comme ${\displaystyle (1+x)^{-1/2}=1-x/2+3x^{2}/8+o(x^{3})}$ lorsque ${\displaystyle -1\leq x\leq +1}$, on trouve[note 2], en posant ${\displaystyle x=-2(r'/r)\cos \psi +(r'/r)^{2}}$ :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-2{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}}}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi -{\frac {1}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}+{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\cos ^{2}\psi +o\left[\left({\frac {r'}{r}}\right)^{3}\right]}$.

Par conséquent, on a[note 3]

${\displaystyle {\frac {r}{\|\mathbf {r'} -\mathbf {r} \|}}=1+{\frac {r'}{r}}\cos \psi +\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}-{\frac {3}{2}}\left({\frac {r'}{r}}\right)^{2}\sin ^{2}\psi +\dots }$ .

Le potentiel gravitationnel en ${\displaystyle P}$ est donc

${\displaystyle V(P)={\frac {G}{r}}\int _{M}\mathrm {d} M+{\frac {G}{r^{2}}}\int _{M}r'\cos \psi \mathrm {d} M+{\frac {G}{r^{3}}}\int _{M}r'^{2}\mathrm {d} M-{\frac {3G}{2r^{3}}}\int _{M}r'^{2}\sin ^{2}\psi \mathrm {d} M+\dots }$

On voit ainsi qu'à l'approximation d'ordre 2, le potentiel gravitationnel ${\displaystyle V(P)}$ peut se décomposer en quatre termes distincts ${\displaystyle V_{0}(P)}$, ${\displaystyle V_{1}(P)}$, ${\displaystyle V_{2}(P)}$, ${\displaystyle V_{3}(P)}$, soit

${\displaystyle V(P)=V_{0}(P)+V_{1}(P)+V_{2}(P)+V_{3}(P)}$.

Le premier terme,

${\displaystyle V_{0}=Gr^{-1}\int _{M}\,\mathrm {d} M=GMr^{-1}}$,

correspond au potentiel d'une distribution sphérique, lequel est le même que celui d'une masse ponctuelle égale à la masse comprise dans toute la sphère. A grande distance, c'est évidemment le terme dominant, puisque sa décroissance en 1/r est plus lente que celle des autres termes. C'est le potentiel newtonien classique utilisé pour établir les trajectoires képlériennes des planètes. On dit de lui qu'il correspond à un monopôle, ou à une distribution de masse monopolaire.

Le deuxième terme,

${\displaystyle V_{1}=Gr^{-2}\int _{M}r'\cos \psi \,\mathrm {d} M}$,

correspond à une distribution de masse dipolaire, autrement dit à un dipôle. En choisissant l'origine des coordonnées au centre de masse du corps, on annule ce terme[note 4]. En effet, en se référant à la figure ci-contre, on peut écrire

${\displaystyle V_{1}=Gr^{-2}\int _{M}r'\cos \psi \,\mathrm {d} M=Gr^{-2}\int _{M}x\,\mathrm {d} M=GMr^{-2}x_{0}}$,

où ${\displaystyle x_{0}}$ désigne la composante le long d'un axe Ox de la position du centre de masse.

Les troisième et quatrième termes, ${\displaystyle V_{2}}$ et ${\displaystyle V_{3}}$, se rapportent à une distribution de masse quadrupolaire, autrement dit à un quadrupôle. Pour ${\displaystyle V_{2}}$ on trouve successivement[note 5]

${\displaystyle V_{2}=Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\,\mathrm {d} M=Gr^{-3}\int _{M}(x^{2}+y^{2}+z^{2})\mathrm {d} M={\frac {1}{2}}Gr^{-3}\int _{M}[(y^{2}+z^{2})+(x^{2}+z^{2})+(x^{2}+y^{2})]\,\mathrm {d} M={\frac {1}{2}}Gr^{-3}(A+B+C)}$,

où ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ désignent les trois moments d'inertie par rapport aux axes Ox, Oy, Oz, respectivement. En définissant le moment d'inertie moyen ${\displaystyle {\bar {I}}}$ par

${\displaystyle {\bar {I}}={\frac {1}{3}}(A+B+C)}$,

on a donc

${\displaystyle V_{2}={\frac {3}{2}}Gr^{-3}{\bar {I}}}$.

Pour ${\displaystyle V_{3}}$, on trouve

${\displaystyle V_{3}=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\sin ^{2}\psi \,\mathrm {d} M=-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}\int _{M}r'^{2}\cos ^{2}\alpha \,\mathrm {d} M={\frac {3}{2}}Gr^{-3}I}$,

où ${\displaystyle I}$ est le moment d'inertie autour de la direction OP. On aboutit ainsi à la formule (parfois aussi appelée théorème) de MacCullagh :

${\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {3}{2}}Gr^{-3}(I-{\bar {I}})}$.

Celle-ci s'applique très utilement à des corps presque sphériques comme la Terre et les planètes, et c'est une approximation encore valable à distance suffisante pour un corps de symétrie quelconque. Il existe évidemment une limitation implicite à sa validité par le fait que la série a été tronquée à l'ordre 2 : des harmoniques supérieurs au degré 2 sont bien sûr nécessaires pour représenter de manière plus précise le champ de gravité extérieur en toute généralité.

Le moment d'inertie I autour d'un axe passant par le centre de masse O d'un corps peut s'écrire en termes des moments principaux d'inertie ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$ obtenus par diagonalisation préalable de la matrice 3x3 représentant le tenseur d'inertie au moyen de la relation

${\displaystyle I=n_{x}^{2}A+n_{y}^{2}B+n_{z}^{2}C}$.

Ici, ${\displaystyle n_{x}}$, ${\displaystyle n_{y}}$, ${\displaystyle n_{z}}$ désignent les cosinus directeurs de l'axe OP par rapport aux axes principaux d'inertie Ox, Oy, Oz, respectivement.

En faisant l'hypothèse que le corps est de révolution autour de l'axe Oz, c'est-à-dire qu'il possède une symétrie axiale d'axe Oz, on a ${\displaystyle A=B}$. Désignons par ${\displaystyle \phi }$ l'angle que fait la direction OP avec le plan Oxy[note 6]. Alors ${\displaystyle n_{z}=\sin \phi }$ et, à cause de la relation liant ${\displaystyle n_{x}^{2}+n_{y}^{2}+n_{z}^{2}=1}$ les cosinus directeurs, on trouve

${\displaystyle \sin ^{2}\phi =1-n_{x}^{2}-n_{y}^{2}}$.

Avec ${\displaystyle A=B}$, la formule de MacCullagh devient

${\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(3I-2A-C)}$.

Dans le cas d'une symétrie axiale, le moment d'inertie I prend lui-même la forme

${\displaystyle I=A(n_{x}^{2}+n_{y}^{2})+C\sin ^{2}\phi =A(1-\sin ^{2}\phi )+C\sin ^{2}\phi }$.

La formule de MacCullagh, pour un corps de révolution, prend donc finalement[note 7] la forme suivante :

${\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}Gr^{-3}(C-A)(1-3\sin ^{2}\phi )}$.

D'autre part, toujours dans l'hypothèse d'une symétrie axiale, le développement général du potentiel gravitationnel en multipôles limité aux termes d'ordre 2 s'écrit

${\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-J_{2}GMa^{2}r^{-3}P_{2}(\cos \theta )}$,

où

${\displaystyle P_{2}(\cos \theta )={\frac {3}{2}}\sin ^{2}\phi -{\frac {1}{2}}}$,

est le polynôme de Legendre de degré 2. On a donc

${\displaystyle V(P)=GMr^{-1}-{\frac {1}{2}}J_{2}GMa^{2}r^{-3}(1-3\sin ^{2}\phi )}$.

Dans le cas de la Terre, le coefficient géopotentiel zonal de degré 2, à savoir ${\displaystyle J_{2}}$, est souvent appelé « facteur de forme géodynamique ». On l'obtient par identification de cette dernière formule avec celle de MacCullagh, soit

${\displaystyle J_{2}={\frac {C-A}{Ma^{2}}}}$.

Certains géodésiens appellent aussi cette dernière relation « formule de MacCullagh », mais cet usage ne semble pas très judicieux.