Projection orthographique

Les anciens Grecs l'appelaient analemme, du nom d'un traité de Ptolémée. Le nom contemporain fut repris du De Architectura[1] de Vitruve par le mathématicien François d'Aguilon (1613). Albrecht Dürer grava pour illustrer le livre du cartographe Johannes Stabius les premières mappemondes polaires et équatoriales de la Terre en projection orthographique. Les photographies de la Terre et des autres planètes prises de l'espace ont donné un regain d'actualité à ce type de projection en astronomie.

On obtient les formules de la projection orthographique, qui relient longitude λ et latitude ϕ sur la sphère, aux coordonnées cartésiennes (x, y) dans le plan tangent par trigonométrie. Si l'on note R le rayon de la sphère et (λ₀, ϕ₁) les coordonnées du centre de la projection (pris comme origine), ces formules sont : ${\displaystyle {\begin{cases}x=R\,\cos \phi \sin \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\\y=R\,{\Big [}\cos \phi _{1}\sin \phi -\sin \phi _{1}\cos \phi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right){\Big ]}~.\end{cases}}}$

Il faut, bien sûr, éliminer les latitudes correspondant à des points en dehors de la carte, ce que l'on peut faire en calculant l'écart angulaire c au centre de la projection. De cette façon les points de l'hémisphère complémentaire ne seront pas tracés :

${\displaystyle \cos c=\sin \phi _{1}\sin \phi +\cos \phi _{1}\cos \phi \cos \left(\lambda -\lambda _{0}\right)\,}$.

Dans cette formule, il ne faut pas représenter un point si cosc est négatif.

Inversement, pour retrouver les coordonnées (λ, ϕ) d'un point sur la sphère, R, λ₀, ϕ₁, x et y étant donnés :

${\displaystyle {\begin{cases}\phi =\arcsin \left(\cos c\sin \phi _{1}+{\frac {y\sin c\cos \phi _{1}}{\rho }}\right)\\\lambda =\lambda _{0}+\arctan \left({\frac {x\sin c}{\rho \cos \phi _{1}\cos c-y\sin \phi _{1}\sin c}}\right)\end{cases}}}$

où

${\displaystyle {\begin{cases}\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\c=\arcsin \left({\frac {\rho }{R}}\right)~.\end{cases}}}$

Pour le calcul des formules inverses (par exemple, en utilisant C / C ++, Fortran ou un autre langage de programmation), l'utilisation de la forme atan2 à deux arguments de la fonction tangente inverse (par opposition à atan) est recommandée. Cela garantit que le signe de la projection orthographique est correct dans tous les quadrants.

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Orthographic projection (cartography) » (voir la liste des auteurs).

Les trois autres projections azimutales principales :

• Projection stéréographique
• Projection azimutale équivalente de Lambert
• Projection gnomonique

• (en) Eric W. Weisstein, « Orthographic Projection », sur MathWorld
• (en) Snyder, J. P. - Flattening the Earth: two thousand years of map projections (1993), The University of Chicago Press, (ISBN 0-226-76747-7)