Produit tensoriel d'algèbres

Soit ${\displaystyle R}$ un anneau commutatif. Soient ${\displaystyle A,B}$ deux ${\displaystyle R}$-algèbres (non nécessairement commutatives). Leur structure de ${\displaystyle R}$-algèbres est donnée par deux morphismes

${\displaystyle \varphi _{A}:R\rightarrow A}$ et ${\displaystyle \varphi _{B}:R\rightarrow B}$.

On peut les considérer comme des ${\displaystyle R}$-modules et construire le produit tensoriel ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$. Lorsque ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ commutent à ${\displaystyle R}$, c'est-à-dire lorsque pour tout ${\displaystyle (r,a,b)\in R\times A\times B}$, on a ${\displaystyle \varphi _{A}(r)a=a\varphi _{A}(r)}$ et ${\displaystyle \varphi _{B}(r)b=b\varphi _{B}(r)}$, on montre qu'il existe une loi de composition interne sur ce produit tensoriel uniquement déterminée par la règle

${\displaystyle (a_{1}\otimes b_{1}).(a_{2}\otimes b_{2})=(a_{1}a_{2})\otimes (b_{1}b_{2})}$.

pour tous ${\displaystyle a_{1},a_{2}\in A}$ et ${\displaystyle b_{1},b_{2}\in B}$. La structure de ${\displaystyle R}$-module plus cette loi de composition interne fait de ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ une ${\displaystyle R}$-algèbre.

Il existe des homomorphismes de ${\displaystyle R}$-algèbres canoniques ${\displaystyle A\to A\otimes _{R}B}$, ${\displaystyle B\to A\otimes _{R}B}$ définis respectivement par ${\displaystyle a\mapsto a\otimes 1}$ et ${\displaystyle b\mapsto 1\otimes b}$.

Ce produit tensoriel possède de plus une structure de ${\displaystyle A}$-algèbre à gauche lorsque ${\displaystyle A}$ est commutatif, et une structure de ${\displaystyle B}$-algèbre à droite lorsque ${\displaystyle B}$ est commutatif.

Exemples:

• Produit tensoriel d'algèbres de matrices

• Produit tensoriel d'algèbres centrales simples

• ${\displaystyle R[T_{1},\ldots ,T_{n}]\otimes _{R}B=B[T_{1},\ldots ,T_{n}]}$.

Lorsque ${\displaystyle A}$ et ${\displaystyle B}$ sont commutatifs, le produit tensoriel ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$ est leur somme catégorielle dans la catégorie des ${\displaystyle R}$-algèbres commutatives:

Si ${\displaystyle \phi :A\to C}$ et ${\displaystyle \psi :B\to C}$ sont des homomorphismes de ${\displaystyle R}$-algèbres commutatives, alors il existe un unique homomorphisme de ${\displaystyle R}$-algèbres ${\displaystyle \rho :A\otimes _{R}B\to C}$ tel que ${\displaystyle \rho (a\otimes 1)=\phi (a)}$ et ${\displaystyle \rho (1\otimes b)=\psi (b)}$ pour tous ${\displaystyle a\in A,b\in B}$.

En géométrie algébrique, cette propriété universelle permet de définir le produit fibré de deux schémas affines au-dessus d'un même schéma affine.

(en) Serge Lang, Algebra, Springer, third edition 2002, XVI, §6.