Problème de l'aiguille de Kakeya

La question de la « taille » minimale des ensembles de Besicovitch en dimension supérieure fut alors posée, donnant naissance à un ensemble de conjectures connues comme les conjectures de Kakeya, et qui ont stimulé en partie la naissance de la théorie géométrique de la mesure. En particulier, l'existence d'ensembles de Besicovitch de mesure nulle amène naturellement à se demander s'ils pourraient également être de mesure de Hausdorff (de dimension s) nulle pour s (non nécessairement entier) strictement plus petit que la dimension de l'espace euclidien considéré. Cette question amène à la conjecture suivante :

Conjecture de Kakeya (pour les ensembles) : Soit B un ensemble de Besicovitch dans Rⁿ (c'est-à-dire que B contient un segment unité dans chaque direction). La dimension de Hausdorff et la dimension de Minkowski de B sont alors égales à n.

Ce résultat est vrai pour n = 2 (et trivialement pour n=1), mais on ne connait que des résultats partiels en dimensions supérieures.

Une approche moderne de ces conjectures est d'étudier des fonctions maximales (en) particulières, construites comme suit : notant S^n-1 ⊂ Rⁿ la sphère unité, on définit ${\displaystyle T_{e}^{\delta }(a)}$ comme étant le cylindre de longueur 1 et de rayon ${\displaystyle \delta >0}$, centré au point a ∈ Rⁿ, et d'axe parallèle au vecteur unitaire e ∈ S^n-1. Pour une fonction localement intégrable f, on définit la fonction maximale de Kakeya de f comme étant

${\displaystyle f_{*}^{\delta }(e)=\sup _{a\in \mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{m(T_{e}^{\delta }(a))}}\int _{T_{e}^{\delta }(a)}|f(y)|dm(y)}$,

où m est la mesure de Lebesgue de dimension n (on remarquera que ${\displaystyle f_{*}^{\delta }}$ est une fonction définie sur les vecteurs e de la sphère S^n-1).

La conjecture suivante implique alors la conjecture de Kakeya pour les ensembles de Besicovitch :

Conjecture de Kakeya pour les fonctions maximales : Pour tout ${\displaystyle \epsilon >0}$, il existe une constante ${\displaystyle C_{\epsilon }>0}$ telle que pour toute fonction f et tout ${\displaystyle \delta >0}$, ${\displaystyle \|f_{*}^{\delta }\|_{L^{n}(\mathbf {S} ^{n-1})}\leqslant C_{\epsilon }\delta ^{-\epsilon }\|f\|_{L^{n}(\mathbf {R} ^{n})}.}$ (les normes utilisées sont celles définies dans l'article Espace Lp).

On a démontré les résultats suivants :

• La conjecture de Kakeya est vraie pour n = 1 (trivialement) et pour n = 2 (Davies, 1971)[10].

• Dans un espace de dimension n, Wolff[11] a montré que la dimension d'un ensemble de Kakeya est au moins ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$(n+2).

• En 2002, Katz et Tao[12] ont amélioré la borne de Wolff, obtenant ${\displaystyle (2-{\sqrt {2}})(n-4)+3}$, (c'est une amélioration pour n>4).

• En 2000, Jean Bourgain obtint une relation entre le problème de Kakeya et l'arithmétique combinatoire (en)[13] - [14] mettant en jeu l'analyse harmonique et la théorie additive des nombres.

Parmi les problèmes analogues au problème de Besicovitch, on a étudié des ensembles contenant des formes plus générales que des segments de droites, par exemple des cercles.

• En 1997 et 1999, Wolff a démontré[16] - [17] que des sous-ensembles de Rⁿ contenant des n-sphères de tout rayon doivent être de dimension de Hausdorff n ; sa démonstration utilise le calcul de bornes d'une fonction maximale circulaire, analogue à la fonction maximale de Kakeya.

• Une conjecture affirmant l'existence d'ensembles de mesure nulle contenant une sphère autour de chacun de leurs points fut réfutée par des résultats de Elias Stein[18] montrant que ces ensembles sont de mesure positive si n ≥ 3, et Marstrand[19], montrant le même résultat dans le cas n = 2.

Une autre généralisation de la conjecture de Kakeya est de considérer des ensembles contenant des portions de sous-espaces de dimension k. Définissons un (n,k) -ensemble de Besicovitch K comme étant un compact de Rⁿ de mesure nulle et contenant un translaté de tous les disques unités de dimension k (autrement dit, si B désigne la boule unité centrée en 0, pour tout sous-espace affine P de dimension k, il existe x ∈ Rⁿ tel que ${\displaystyle (P\cap B)+x\subseteq K}$). Ainsi, les ensembles de Besicovitch définis précédemment sont les(n,1)-ensembles de Besicovitch. On a alors la

Conjecture des (n,k)-Besicovitch : il n'existe pas de (n,k)-ensembles de Besicovitch pour k>1.

En 1979, Marstrand[20] montra qu'il n'existait pas de (3,2)-ensembles de Besicovitch. Vers la même époque, Falconer[21] montra plus généralement qu'il n'existait pas de (n,k)ensembles de Besicovitch pour 2k>n. La meilleure borne actuelle est due à Bourgain[22], montrant qu'il n'existe pas de tels ensembles si 2^k-1+k>n.

En 1999, Wolff proposa une conjecture analogue pour les corps finis, dans l'espoir que les techniques permettant de la résoudre pourraient se transposer au cas euclidien :

Conjecture de Kakeya pour les corps finis : Soit F un corps fini, et soit K ⊆ Fⁿ un ensemble de Besicovitch, c'est-à-dire que pour chaque vecteur y ∈ Fⁿ, il existe x ∈Fⁿ tel que K contient une droite {x+ty: t ∈ F}. Alors l'ensemble K est de taille au moins c_n|F|ⁿ, où c_n>0 est une constante ne dépendant que de n.

Zeev Dvir (en) démontra cette conjecture en 2009[23] (avec c_n = 1/n!), en utilisant ce que Terence Tao appela un "argument superbement simple"[24], de la manière suivante : Dvir observa que tout polynôme à n variables de degré inférieur à |F| s'annulant sur un ensemble de Besicovitch doit être identiquement nul. Or les polynômes à n variables de degré inférieur à |F| forment un espace vectoriel de dimension ${\displaystyle {|\mathbf {F} |+n-1 \choose n}\geq {\frac {|\mathbf {F} |^{n}}{n!}}}$.

Il y a par conséquent au moins un polynôme non trivial s'annulant sur un ensemble donné ayant moins de points que ce nombre ; combinant ces deux observations, on voit que les ensembles de Besicovtch doivent avoir au moins |F|ⁿ/n! points. Il n'est pas clair que cette technique puisse être adaptée pour démontrer la conjecture de Kakeya dans le cas euclidien, mais cette démonstration en renforce du moins la vraisemblance, en montrant l'impossibilité de contre-exemples essentiellement construits de manière algébrique[24]. Dvir a écrit un article de synthèse sur les progrès réalisés dans le cas des corps finis (jusqu'en 2009), et leur relation à la notion d'extracteur de hasard (en)[25].

• (en) Abram Besicovitch, « The Kakeya Problem », American Mathematical Monthly, vol. 70, n^o 7,‎ 1963, p. 697–706 (DOI 10.2307/2312249, JSTOR 2312249)
• (en) F. Cunningham, « The Kakeya problem for simply connected and for star-shaped sets », American Mathematical Monthly, vol. 78, n^o 2,‎ 1971, p. 114–129 (lire en ligne)
• (en) Zeev Dvir, « On the size of Kakeya sets in finite fields », Journal of the American Mathematical Society, vol. 22, n^o 4,‎ 2009, p. 1093–1097 (DOI 10.1090/S0894-0347-08-00607-3, MR 2525780, arXiv 0803.2336)
• (en) K. J. Falconer, The Geometry of Fractal Sets, Cambridge University Press, 1985
• (en) Soichi Kakeya, « Some problems on maximum and minimum regarding ovals », Tohoku science reports, vol. 6,‎ 1917, p. 71–88
• (en) Nets Hawk Katz, Izabella Łaba et Terence Tao, « An improved bound on the Minkowski dimension of Besicovitch sets in R³ », Ann. Of Math., vol. 152, n^o 2,‎ 2000, p. 383–446 (lire en ligne)
• (en) Thomas Wolff, Prospects in Mathematics, AMS, 1999, « Recent work connected with the Kakeya problem »
• (en) Thomas Wolff, Lectures in Harmonic Analysis, AMS, 2003

• Kakeya at University of British Columbia
• Besicovitch at UCLA
• Kakeya needle problem at mathworld

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Kakeya set » (voir la liste des auteurs).