Ensemble de Besicovitch

Abram Besicovitch a découvert ces ensembles en 1919 alors qu'il travaillait sur des problèmes d'intégrations dans le plan. La question était de savoir si, étant donnée une fonction Riemann-intégrable dans le plan, il existait toujours une paire d'axes orthogonaux tels que l'on puisse intégrer selon un axe, puis selon l'autre. Les ensembles qu'il découvrit lui permirent d'exhiber un contre-exemple à l'hypothèse précédente.

Un ensemble ${\displaystyle B\subset \mathbb {R} ^{2}}$ est appelé ensemble de Besicovitch s'il vérifie les propriétés suivantes :

1. ${\displaystyle B}$ contient un segment unitaire dans chaque direction du plan
2. ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(B)=0}$

où ${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}(B)}$ représente la mesure de Lebesgue de ${\displaystyle B}$.

La première condition s'exprime aussi : ${\displaystyle \forall \ \theta \in \left[0;2\pi \right],\exists \ S}$ un segment faisant un angle ${\displaystyle \theta }$ avec l'axe de abscisses.

Remarque : Une autre définition possible consiste à avoir un ensemble contenant une droite dans chaque direction, plutôt qu'un segment.

Nous allons montrer le résultat suivant : il existe une fonction Riemann-intégrable du plan telle que pour toute paire d'axes orthogonaux, l'intégration suivant l'axe des ordonnées soit impossible (au sens de Riemann).

Remarque : on a besoin ici de la compacité de l'ensemble de Besicovitch, qui est assurée par les constructions proposées dans la partie suivante.

Soit ${\displaystyle B\in \mathbb {R} }$ un ensemble de Besicovitch. On fixe une paire d'axe ${\displaystyle (Ox_{0}y_{0})}$ grâce à laquelle on définit la fonction ${\displaystyle f\$ :\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \ \mathbb {R} } par :

• Si ${\displaystyle (x,y)\in \ B}$ et si ${\displaystyle x\ \in \ \mathbb {Q} \ ou\ y\ \in \ \mathbb {Q} }$, alors ${\displaystyle f(x,y)=1}$.
• Sinon, pour tous les autres éléments de ${\displaystyle B}$ et tous ceux qui ne sont pas dans ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle f(x,y)=0}$.

On a en quelque sorte prolongé la fonction caractéristique de ℚ sur notre ensemble, en particularisant les points dont l'une au moins des coordonnées est rationnelle. Il faut choisir ${\displaystyle (Ox_{0}y_{0})}$ de façon que le segment parallèle à ${\displaystyle (Ox_{0})}$ (resp.${\displaystyle (Oy_{0})}$) soit à distance irrationnelle de cet axe, ce qui est toujours possible.

La compacité de l'ensemble ${\displaystyle B}$ assure que l'ensemble des points de discontinuité de la fonction ${\displaystyle f}$ est l'ensemble ${\displaystyle B}$ lui-même, et est donc de mesure nulle. Le critère de Lebesgue pour l'intégrabilité de Riemann assure que ${\displaystyle f}$ est Riemann-intégrable sur ℝ². Nous allons alors montrer que quelle que soit la paire d'axes orthogonaux choisis, on ne pourra pas intégrer ${\displaystyle f}$ d'abord selon l'axe des ordonnées. Ce qui signifie qu'il existe dans n'importe quel système d'axes orthognaux ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ tel que ${\displaystyle f_{|\{x\}\times \mathbb {R} }}$ ne soit pas intégrable au sens de Riemann. Notons ${\displaystyle f_{x}:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$ une telle fonction.

Soit maintenant ${\displaystyle (0xy)}$ une paire d'axes orthogonaux quelconque. Soit ${\displaystyle x}$ l'abscisse du segment parallèle à ${\displaystyle (Oy)}$ et contenu dans ${\displaystyle B}$. La fonction ${\displaystyle f_{x}}$ correspond sur le segment à la fonction caractéristique de ℚ. Cette fonction n'est pas Riemann-intégrable, ce qui prouve le résultat.

Il existe principalement deux méthodes pour les construire, la méthode historique est celle des triangles, l'autre se basant sur un principe de dualité. On ne présente ici que la construction par dualité. Le principe de la méthode des triangles est d'effectuer des superpositions de triangles pour diminuer progressivement l'aire.

• Problème de l'aiguille de Kakeya

• (en) Kenneth Falconer (en), The Geometry of Fractal Sets, Cambridge University Press, 1985
• Bruno Grenet, Les ensembles de Besicovitch, rapport de TIPE.