Problème d'empilage de blocs
En statique (et en mathématiques récréatives), le problème d'empilage de blocs (aussi le problème d'empilage de livres, ou d'autres dénominations similaires) est une devinette concernant l'empilage possible de blocs sur le bord d'une table. Au lieu d'empilements de blocs, on rencontre aussi des étalements de cartes à jeux[1].
Description
Le problème d'empilement de blocs est le puzzle suivant :
Comment poser blocs rectangulaires et rigides sur le bord d'une table de manière à maximiser le surplomb.
Historique
Le problème d'empilement de blocs a une longue histoire, à la fois en mécanique et comme problème de récréation mathématique. Dans leurs articles [2] - [3], Paterson et ses coauteurs fournissent une longue liste de références sur ce problème qui est traité dans des écrits de mécanique remontant jusqu'au milieu du XIXe siècle. Il fait aussi partie sous une autre forme des récréations mathématiques étudiées par Martin Gardner[4] - [5] par exemple.
Variantes
Empilage simple
Dans le modèle à empilage simple (single-wide problem), il y a un seul bloc à chaque niveau. Quand les blocs sont tous identiques et rectangulaires, le surplomb maximal pour blocs est[3]
- .
C'est la moitié de la somme partielle de la série harmonique. Les premiers termes sont :
N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1/2 3/4 11/12 25/24 137/120 49/40 363/280 761/560 7129/5040
Ces nombres forment les suites  A001008 et  A002805 de l'OEIS. Comme la série harmonique diverge, le surplomb maximum tend vers l'infini avec , ce qui signifie que l'on peut réaliser des surplombs arbitrairement grands à condition d'empiler un nombre suffisant de blocs. Asymptotiquement, le surplomb maximal est
- .
Empilage multiple
Losque l'on utilise plusieurs blocs à chaque niveau le contrepoids intervient pour permettre de réaliser des surplombs plus grands. Déjà avec trois blocs, deux blocs au dessus du premier niveau peuvent se contrebalancer et donnent un surplomb de 1, alors que dans le cas simple, le surplomb est au plus 11/12. Paterson et Zwick, puis Paterson, Peres, Winkler et Zwick[2] - [3] ont montré le surplomb maximal que l'on peut atteindre est asymptotiquement
ce qui contraste avec le cas simple où le surplomb est proportionnel au logarithme du nombre de blocs. Pour des petits nombres de blocs, il existe des solutions plus optimales[3].
Robustesse
Hall 2005 étudie le problème de l'empilement en tenant compte de contraintes physiques, telles la robustesse des matériaux, les coins éventuellement arrondis, la précision du placement des blocs, et introduit certaines variantes comme des forces de frottement non nulles entre des blocs adjacents.
Notes et références
- (en) Eric W. Weisstein, « Book Stacking Problem », sur MathWorld.
- Paterson et Zwick 2009.
- Paterson et al. 2009.
- Gardner 1971.
- [vidéo] El Jj, Deux (deux ?) minutes pour l'escargot de Gardner sur YouTube.
Bibliographie
- John F. Hall, « Fun with stacking blocks », American Journal of Physics, vol. 73, no 12,‎ , p. 1107-1116 (DOI 10.1119/1.2074007).
- Mike Paterson et Uri Zwick, « Overhang », Amer. Math. Monthly, vol. 116, no 1,‎ , p. 19-44 (MR 2011b:68182, arXiv 0710.2357, lire en ligne) — Une première version est parue dans « Overhang », Proceedings of the 17th Annual ACM-SIAM Symposium on Discrete Algorithms (SODA’06), Philadelphie, Society for Industrial and Applied Mathematics,‎ , p. 231-240.
- Mike Paterson, Yuval Peres, Peter Winkler et Uri Zwick, « Maximum overhang », Amer. Math. Monthly, vol. 116, no 9,‎ , p. 763-787 (MR 2011b:68183, arXiv 0707.0093, lire en ligne).
- (en) Martin Gardner, Martin Gardner’s Sixth Book of Mathematical Games from "Scientific American", W.H. Freeman & Co Ltd, , 6e éd., 262 p. (ISBN 978-0-7167-0944-2).