Probabilité de commutativité

Soit ${\displaystyle G}$ un groupe fini. On définit ${\displaystyle p(G)}$ comme le nombre moyenné de paires d'éléments de ${\displaystyle G}$ qui commutent :

${\displaystyle p(G):={\frac {1}{\#G^{2}}}\#\left\{(x,y)\in G^{2}\colon xy=yx\right\}.}$

Si on considère la loi uniforme sur ${\displaystyle G^{2}}$, ${\displaystyle p(G)}$ est la probabilité que deux éléments de ${\displaystyle G}$ choisis au hasard commutent. C'est pourquoi ${\displaystyle p(G)}$ est appelée la probabilité de commutativité de ${\displaystyle G}$.

• Le groupe fini ${\displaystyle G}$ est abélien si et seulement si ${\displaystyle p(G)=1}$.
• On a

${\displaystyle p(g)={\frac {k(G)}{\#G}}}$

où ${\displaystyle k(G)}$ est le nombre de classes de conjugaison de ${\displaystyle G}$.

• Si ${\displaystyle G}$ n'est pas abélien, alors ${\displaystyle p(G)\leq 5/8}$ (ce résultat est parfois appelé le théorème 5/8[3]) et cette borne supérieure est atteinte: il existe une infinité de groupes finis ${\displaystyle G}$ tels que ${\displaystyle p(G)=5/8}$, le plus petit est le groupe diédral d'ordre 8.
• Il n'y a pas de borne inférieure uniforme pour ${\displaystyle p(G)}$. En fait, pour tout entier naturel ${\displaystyle n}$ non nul, il existe un groupe fini ${\displaystyle G}$ tel que ${\displaystyle p(G)=1/n}$.
• Si ${\displaystyle G}$ n'est pas abélien mais est simple, alors ${\displaystyle p(G)\leq 1/12}$ (cette borne est atteinte pour ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{5}}$, le groupe alterné d'ordre 5).

• La probabilité de commutativité peut être définie pour d'autres structures algébriques comme les anneaux finis[4].
• La probabilité de commutativité peut être définie pour des groupes compacts infinis ; la mesure de probabilité est alors, après renormalisation, la mesure de Haar[5].