Primitives de fonctions exponentielles

Une constante (la constante d'intégration) peut être ajoutée au côté droit de n'importe laquelle de ces formules ; elle a été supprimée ici par souci de brièveté.

Intégrale de l'exponentielle

${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{ax+b}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\mathrm {e} ^{ax+b}}$ avec ${\displaystyle a\neq 0}$

Intégrale du quotient de l'exponentielle sur ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln |x|+\sum _{n=1}^{+\infty }{\frac {(ax)^{n}}{n!\cdot n}}}$

Intégrale du produit de l'exponentielle et d'une puissance de ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \int x^{n}\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}x^{n}\mathrm {e} ^{ax}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x}$ avec ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} \setminus (-1)}$

Intégrale du produit de l'exponentielle et du logarithme népérien

${\displaystyle \int \mathrm {e} ^{ax}\ln x\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}\mathrm {e} ^{ax}\ln |x|-{\frac {1}{a}}\int {\frac {\mathrm {e} ^{ax}}{x}}\,\mathrm {d} x}$

Intégrale du produit de l'exponentielle et d'un polynôme

Soit ${\displaystyle P}$ une fonction polynomiale. On note ${\displaystyle P'}$ sa dérivée.

${\displaystyle \int P(x)\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{a}}P(x)\mathrm {e} ^{ax}-{\frac {1}{a}}\int P^{\prime }(x)\mathrm {e} ^{ax}\,\mathrm {d} x}$

• (en) Milton Abramowitz et Irene Stegun, Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables [détail de l’édition] (lire en ligne)