Prédiction statistique des résultats de football

Toutes les méthodes de prédiction peuvent être classées selon le type de tournoi, la dépendance au temps et l'algorithme de régression utilisé. Les méthodes de prévision du football diffèrent entre championnat et tournoi à élimination directe. Les méthodes de prévision pour les tournois à élimination directe sont résumées dans un article par Diego Kuonen[8].

Le tableau ci-dessous résume les méthodes utilisées pour les championnats.

#	Code	Méthode de Prévision	Algorithme de régression	Dépendance au temps	Performance
1.	TILS	Time Independent Least Squares Rating	Régression des moindres carrés linéaire	N	Faible
2.	TIPR	Time Independent Poisson Regression	Maximum de vraisemblance	N	Moyenne
3.	TISR	Time Independent Skellam Regression	Maximum de vraisemblance	N	Moyenne
4.	TDPR	Time Dependent Poisson Regression	Maximum de vraisemblance	Facteur d'amortissement du temps	Haute
5.	TDMC	Time Dependant Markov Chain	Monte-Carlo	Chaîne de Markov	Haute

Cette méthode attribue à chaque équipe du tournoi une notation en continu, de sorte que la meilleure équipe aura la meilleure note. La méthode est basée sur l'hypothèse que la cote attribuée à l'équipe rivale est proportionnelle à l'issue de chaque match.

Supposons que les équipes A, B, C et D jouent dans un tournoi et que les résultats des matchs sont les suivants :

Match #	Équipe à domicile	Score	Équipe à l'extérieur	Y
1	A	3 - 1	B	${\displaystyle y_{1}=3-1}$
2	C	2 - 1	D	${\displaystyle y_{2}=2-1}$
3	D	1 - 4	B	${\displaystyle y_{3}=1-4}$
4	A	3 - 1	D	${\displaystyle y_{4}=3-1}$
5	B	2 - 0	C	${\displaystyle y_{5}=2-0}$

Bien que les rangs ${\displaystyle r_{A}}$, ${\displaystyle r_{B}}$, ${\displaystyle r_{C}}$ et ${\displaystyle r_{D}}$ des équipes A, B, C et D, respectivement ne sont pas connus, on peut supposer que le résultat du match #1 est proportionnel à la différence entre les rangs des équipes A et B: ${\displaystyle y_{1}=r_{A}-r_{B}+\varepsilon _{1}}$. De cette façon, ${\displaystyle y_{1}}$ correspond à la différence de score et ${\displaystyle \varepsilon _{1}}$ est l'observation du bruit. La même hypothèse peut être faite pour tous les matchs dans le tournoi :

${\displaystyle {\begin{matrix}y_{1}=r_{A}-r_{B}+\varepsilon _{1}\\y_{2}=r_{C}-r_{D}+\varepsilon _{2}\\...\\y_{5}=r_{B}-r_{C}+\varepsilon _{5}\\\end{matrix}}}$

En introduisant une matrice de sélection X, les équations ci-dessus peuvent être réécrites sous une forme compacte :

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {Xr} +\mathbf {e} }$.

Les entrées de la matrice de sélection peuvent être soit 1, 0 ou -1, avec 1 correspondant à des équipes d'accueil et -1 à l'écart des équipes:

${\displaystyle {\begin{matrix}\mathbf {y} =\left[{\begin{matrix}2\\1\\-3\\2\\2\\\end{matrix}}\right],&\mathbf {X} =\left[{\begin{matrix}1&-1&0&0\\0&0&1&-1\\0&-1&0&1\\1&0&0&-1\\0&1&-1&0\\\end{matrix}}\right],&\mathbf {r} =\left[{\begin{matrix}r_{A}\\r_{B}\\r_{C}\\r_{D}\\\end{matrix}}\right],&\mathbf {e} =\left[{\begin{matrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\end{matrix}}\right]\\\end{matrix}}}$

Si la matrice ${\displaystyle \mathbf {X} ^{T}\mathbf {X} }$ est de rang plein, la solution algébrique du système peut être trouvée via la méthode des moindres carrés :

${\displaystyle \mathbf {r} =\left(\mathbf {X} ^{T}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{T}\mathbf {y} }$

Les paramètres de la cote finale sont ${\displaystyle \mathbf {r} =[1,625,\ 0,75,\ -0,875,\ -1,5]^{T}}$. Dans ce cas, l'équipe la plus forte a la plus haute cote. L'avantage de cette méthode de notation par rapport aux systèmes de classement standards est que les valeurs sont ré-évaluées en permanence, ce qui permet de définir avec précision la différence entre la force des équipes.

Selon ce modèle (Maher[5]), si ${\displaystyle X_{i,j}}$ et ${\displaystyle Y_{i,j}}$ sont les buts marqués dans le match opposant l'équipe i à l'équipe j, alors:

${\displaystyle {\begin{aligned}&X_{i,j}\sim Poisson(\lambda )\\&Y_{i,j}\sim Poisson(\mu )\\\end{aligned}}}$

${\displaystyle X_{i,j}}$ et ${\displaystyle Y_{i,j}}$ sont des variables aléatoires indépendantes avec des moyennes arithmétiques ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$. Ainsi, la probabilité conjointe pour l'équipe à domicile de marquer x buts et pour l'équipe à l'extérieur de marquer y buts est un produit des deux probabilités indépendantes :

${\displaystyle P\left(X_{i,j}=x,Y_{i,j}=y\right)={\frac {\lambda ^{x}\exp(-\lambda )}{x!}}{\frac {\mu ^{y}\exp(-\mu )}{y!}}}$

tandis que le modèle log-linéaire généralisé pour ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$ d'après Kuonen[8] et Lee[9] est défini par : ${\displaystyle \log \left(\lambda \right)=c^{\lambda }+a_{i}+d_{j}+h}$ et ${\displaystyle \log \left(\mu \right)=c^{\mu }+a_{j}+d_{i}}$, où ${\displaystyle a_{i},d_{i},h>0}$ se réfèrent à la force d'attaque, de défense et à l'avantage du terrain, respectivement. ${\displaystyle c^{\lambda }}$ et ${\displaystyle c^{\mu }}$ sont des facteurs de correction qui représentent le nombre moyen de buts marqués au cours de la saison par l'équipe à domicile et à l'extérieur respectivement.

En supposant que C signifie le nombre d'équipes participant à une saison et que N représente le nombre de matchs disputés jusqu'à présent, les forces d'une équipe peuvent être estimées en minimisant la fonction de log-vraisemblance négative par rapport à ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&L(a_{i},d_{i},h;\ i=1,..C)=-\log \prod \limits _{n=1}^{N}{{\frac {\lambda _{n}^{x_{n}}\exp(-\lambda _{n})}{x_{n}!}}{\frac {\mu _{n}^{y_{n}}\exp(-\mu _{n})}{y_{n}!}}}=-\sum \limits _{n=1}^{N}{\log \left({\frac {\lambda _{n}^{x_{n}}\exp(-\lambda _{n})}{x_{n}!}}{\frac {\mu _{n}^{y_{n}}\exp(-\mu _{n})}{y_{n}!}}\right)}\\&=\sum \limits _{n=1}^{N}{\lambda _{n}}+\sum \limits _{n=1}^{N}{\mu _{n}}-\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{x_{n}\log \left(\lambda _{n}\right)}\right)-\left(\sum \limits _{n=1}^{N}{y_{n}\log \left(\mu _{n}\right)}\right)+\sum \limits _{n=1}^{N}{\log \left(x_{n}!\right)}+\sum \limits _{n=1}^{N}{\log \left(y_{n}!\right)}\\\end{aligned}}}$

Étant donné que ${\displaystyle x_{n}}$ et ${\displaystyle y_{n}}$ sont connus, les forces d'attaque et de défense de l'équipe ${\displaystyle \left(a_{i},d_{i}\right)}$ et l'avantage du terrain ${\displaystyle \left(h\right)}$ qui minimisent la log-vraisemblance négative peuvent être estimés par l'Algorithme espérance-maximisation :

${\displaystyle {\underset {a_{i},d_{i},h}{\mathop {\min } }}\,L(a_{i},d_{i},h,i=1,..C)}$

Des améliorations de ce modèle ont été suggérées par Mark Dixon et Stuart Coles[10]. Ils ont inventé un facteur de corrélation pour les scores faibles 0-0, 1-0, 0-1 et 1-1, où l'hypothèse de Loi de Poisson indépendantes ne tient pas. Dimitris Karlis et Ioannis Ntzoufras[11] ont construit un modèle Time-Independent Skellam Distribution. Contrairement au modèle de Poisson qui correspond à la distribution des scores, le modèle Skellam correspond à la différence entre les scores à domicile et à l'extérieur.

D'une part, les modèles statistiques nécessitent un grand nombre d'observations pour faire une estimation précise des paramètres. Et quand il n'y a pas suffisamment d'observations disponibles au cours d'une saison (comme c'est généralement le cas), travailler avec des statistiques moyennes a un sens. D'autre part, il est bien connu que les compétences des équipes changent au cours de la saison, ce qui rend les paramètres du modèle dépendant du temps. Mark Dixon et Stuart Coles[10] ont essayé de résoudre ce problème par un compromis en attribuant un plus grand poids aux résultats du dernier match. Rue et Salvesen[12] ont introduit une méthode de notation dépendant du temps en utilisant un modèle de chaînes de Markov.

Ils ont suggéré de modifier le modèle linéaire généralisé ci-dessus pour ${\displaystyle \lambda }$ et ${\displaystyle \mu }$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\log \left(\lambda \right)=c^{\lambda }+a_{i}-d_{j}-\gamma \cdot \Delta _{i,j}\\&\log \left(\mu \right)=c^{\mu }+a_{j}-d_{i}+\gamma \cdot \Delta _{i,j}\\\end{aligned}}}$

étant donné que ${\displaystyle \Delta _{i,j}={\frac {\left(a_{i}-d_{j}\right)\left(d_{i}-a_{j}\right)}{2}}}$ correspond à la différence de défense entre les équipes i et j. Le paramètre ${\displaystyle \gamma >0}$ représente alors les effets psychologiques causés par la sous-estimation de la force de l'équipe adverse.

Selon le modèle, la force d'attaque ${\displaystyle \left(a\right)}$ de l'équipe A peut être décrite par les équations du mouvement brownien standard, ${\displaystyle B_{a,A}\left(t\right)}$, pour le temps ${\displaystyle t_{1}>>t_{0}}$:

${\displaystyle a_{A}^{t_{1}}=a_{A}^{t_{0}}+\left(B_{a,A}\left(t_{1}/\tau \right)-B_{a,A}\left(t_{0}/\tau \right)\right)\cdot {\frac {\sigma _{a,A}}{\sqrt {1-\gamma \left(1-{\gamma }/{2}\;\right)}}}}$

où ${\displaystyle \tau }$ et ${\displaystyle \sigma _{a,A}^{2}}$ se réfèrent respectivement au taux de perte de la mémoire et à la variance de l'attaque a priori.

Ce modèle est basé sur l'hypothèse que :

${\displaystyle {a_{A}^{t_{1}}}/{a_{A}^{t_{0}}}\;\sim N\left(a_{A}^{t_{0}},\ {\frac {t_{1}-t_{0}}{\tau }}\sigma _{a,A}^{2}\right)}$

En supposant que trois équipes A, B et C jouent dans le tournoi et que les matchs sont joués dans l'ordre suivant : ${\displaystyle t_{0}}$: A-B; ${\displaystyle t_{0}}$: A-C; ${\displaystyle t_{1}}$: B-C, la densité de probabilité conjointe peut être exprimée comme suit :

${\displaystyle {\begin{aligned}&P(a_{i},d_{i},\gamma ,\,\tau$ ;\ A,B,C)=P\left(\lambda _{A},t_{0}\right)\cdot P\left(\lambda _{B},t_{0}\right)\cdot P\left(\lambda _{C},t_{0}\right)\\&\times P\left(X_{A,B}=x,Y_{A,B}=y|\lambda _{A},\mu _{B},t_{0}\right)\cdot P\left(X_{A,C}=x,Y_{A,C}=y|\lambda _{A},\mu _{C},t_{0}\right)\\&\times P\left(\lambda _{A},t_{1}|\lambda _{A},t_{0}\right)\cdot P\left(\mu _{C},t_{1}|\mu _{C},t_{0}\right)\\\end{aligned}}}

Puisque l'estimation analytique des paramètres est difficile dans ce cas, la méthode de Monte-Carlo est appliquée pour estimer les paramètres du modèle.