Polynôme réciproque

Soient ${\displaystyle \beta }$ un nombre algébrique de module 1 et

${\displaystyle P(X)=a_{0}+a_{1}X+\ldots +a_{n-1}X^{n-1}+X^{n}}$

son polynôme minimal sur ${\displaystyle {}^{\mathbb {Q} }}$. Son polynôme réciproque,

${\displaystyle P^{*}(X)=1+a_{n-1}X+\ldots +a_{1}X^{n-1}+a_{0}X^{n},}$

admet ${\displaystyle \beta }$ pour racine puisque

${\displaystyle P^{*}(\beta )=\beta ^{n}P(1/\beta )=\beta ^{n}P({\overline {\beta }})=\beta ^{n}{\overline {P(\beta )}}=\beta ^{n}.0=0.}$

Par conséquent, il existe un rationnel ${\displaystyle \lambda }$ tel que ${\displaystyle P^{*}=\lambda P}$. Dans cette égalité, le coefficient dominant et le terme constant sont : ${\displaystyle a_{0}=\lambda }$ et ${\displaystyle 1=\lambda a_{0}}$. On en déduit que

${\displaystyle P^{*}=a_{0}P\quad {\text{et}}\quad a_{0}=\pm 1.}$