Plan de Mysior

Le plan de Mysior est un espace topologique construit en 1981 par le mathématicien polonais Adam Mysior[1] et vérifiant des propriétés de séparation particulières : c'est un espace régulier non complètement régulier, plus simple que les contre-exemples antérieurs[2].

Définition

L'ensemble sous-jacent à cet espace est le demi-plan supérieur auquel on ajoute un point P, choisi par exemple égal à (0, –1) : $X=\left(\mathbb {R} \times \mathbb {R} ^{+}\right)\cup \{(0,-1)\}.$

On définit pour chaque point (x, y) de $X$ une base de voisinages :

si y > 0, le singleton {(x, y)} est un voisinage de (x, y), c'est-à-dire que tous les points du demi-plan ouvert sont isolés ;
chaque voisinage de base d'un point (x, 0) de l'axe horizontal est constitué de ce point et de tous les points de R_x sauf un nombre fini, où R_x est la réunion de l'intervalle vertical V_x := {(x, t) | 0 ≤ t < 2} et de l'intervalle oblique O_x := {(x + t, t) | 0 ≤ t < 2} ;
les voisinages de base du point P sont les ensembles U_n := {P} ∪ {(s, t) | s > n, t ≥ 0}, pour n = 1, 2, …

Ces bases de voisinages définissent une topologie $τ$ sur $X$ . L'espace topologique $(X, τ)$ est appelé le plan de Mysior[3] - [4].

Propriétés

Le point P est limite de toute suite (x_n, y_n) dans $X$ telle que x_n → $+\infty$ .

L'espace $(X, τ)$ est séparé. Il est même régulier, car tout point possède une base de voisinages fermés : pour les points autres que P, les voisinages ci-dessus sont fermés et pour le point P, il suffit de remarquer que l'adhérence de U_{n + 2} est incluse dans U_n (c'est la réunion de U_{n + 2} et de l'intervalle horizontal {(s, 0) | n < s ≤ n + 2}).

Il n'est pas complètement régulier car toute application continue f de X dans ℝ nulle sur le fermé {(s, 0) | s ≤ 1} est nulle en P.

Démonstration

Il suffit de montrer que pour tout entier n ≥ 1, l'ensemble K_n des points de la forme (x, 0) avec n – 1 ≤ x ≤ n en lesquels f s'annule est infini. Procédons par récurrence. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, soit C un ensemble infini dénombrable inclus dans K_n. Pour tout point (c, 0) de C, f s'annule sur tout l'intervalle oblique O_c privé d'un sous-ensemble au plus dénombrable D_c. La réunion de ces ensembles D_c est alors au plus dénombrable donc sa projection P sur l'axe horizontal y = 0 aussi, si bien que l'ensemble des points (x, 0) ∉ P tels que n ≤ x ≤ n + 1 est infini. On conclut en remarquant que cet ensemble est inclus dans K_{n + 1}, c'est-à-dire que f s'annule en chacun de ces (x, 0), puisqu'elle s'annule en une infinité de points de l'intervalle vertical V_x (chaque point d'intersection de V_x avec un O_c, quand (c, 0) parcourt C).

Notes et références

(en) A. Mysior, « A regular space which is not completely regular », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 81, n^o 4,‎ 1981, p. 652-653 (lire en ligne).
Cf. exemples 90, 91, 92 et 94 de Counterexamples in Topology : Tychonoff corkscrew, Deleted Tychonoff corkscrew, Hewitt's condensed corkscrew, Thomas's corkscrew.
(de) Jürgen Heine, Topologie und Funktionalanalysis : Grundlagen der abstrakten Analysis mit Anwendungen, Oldenbourg, 2002, 745 p. (ISBN 978-3-486-24914-9), Beispiel 2.5,4.
(en) Jun-iti Nagata, Modern General Topology, Amsterdam/New York/New York, NY, U.S.A., Elsevier, 1985, 3^e éd., 522 p. (ISBN 978-0-444-87655-3), Example III.2.

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