Pi-système

Définition[1] - [4] — Soit ${\displaystyle X}$ un ensemble. On appelle π-système sur ${\displaystyle X}$, un ensemble ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ de parties de ${\displaystyle X}$ qui vérifie la propriété suivante :

${\displaystyle A,\,B\in {\mathcal {C}}\Rightarrow A\cap B\in {\mathcal {C}}\,.}$

Il est important de remarquer que certains auteurs requièrent dans la définition la condition supplémentaire que ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ne soit pas vide [3], ou bien encore que ${\displaystyle X}$ appartienne à ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ [2]. Ceci évitant la manipulation du π-système vide dans les preuves. On peut faire remonter l'usage du terme π-système au moins jusqu'au mathématicien Eugene Dynkin en 1961[1].

• Une algèbre d'ensembles est un π-système, et par conséquent une tribu l'est aussi.
• Une topologie est un π-système.
• L'ensemble des intervalles semi-ouverts à droite, ${\displaystyle \{[a,b)\mid a,\,b\in \mathbf {R} ,\,a<b\}}$(en y adjoignant l’intervalle vide) est un π-système. Il en va de même pour les autres familles d'intervalles même non bornés.

Dans cette section établissons quelques propriétés des π-systèmes qui ne sont pas étrangères à celle des tribus.

Comme conséquence directe de cette propriété, on obtient que pour toute famille ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ de parties d'un ensemble ${\displaystyle X}$ il existe un plus petit π-système qui la contient, au sens de l'inclusion des ensembles. On pourrait l'appeler le π-système engendré par ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ par analogie avec les tribus engendrées. Il est unique et se construit comme l'intersection de tous les π-systèmes qui contiennent ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$.

Dans le cas remarquable d'une variable aléatoire réelle ${\displaystyle X}$ définie sur un espace de probabilité ${\displaystyle \Omega }$, les ensembles ${\displaystyle \{X\leq a\}=\{\omega \mid X(\omega )\leq a\}}$ pour ${\displaystyle a}$ réel est un π-système. Par ailleurs on obtient la fonction de répartition ${\displaystyle F_{X}}$ de ${\displaystyle X}$ comme les probabilités des ensembles de ce π-système en posant ${\displaystyle F_{X}(x)=\mathbf {P} (\{X\leq x\})}$ pour tout ${\displaystyle x}$ réel où ${\displaystyle \mathbf {P} }$ désigne la mesure de probabilité considérée sur ${\displaystyle \Omega }$. Celle-ci permet de caractériser la loi de la variable aléatoire ${\displaystyle X}$.

Propriété — Soit ${\displaystyle (X_{t})_{t\in T}}$ une famille d'ensembles indexée par un ensemble ${\displaystyle T}$. Si l'on se donne pour chaque ${\displaystyle t}$ dans ${\displaystyle T}$ un π-système ${\displaystyle P_{t}}$ sur ${\displaystyle X_{t}}$ alors, sur le produit cartésien ${\displaystyle \Pi _{t\in T}X_{t}}$, la famille de tous les ensembles cylindriques[4]

${\displaystyle C_{t_{1},\ldots ,t_{n}}(A_{t_{1}},\ldots ,A_{t_{n}})=\left\{x\in \Pi _{t\in T}X_{t}\mid x(t_{i})\in A_{t_{i}},\,i=1,\ldots ,n\right\}}$

où ${\displaystyle n}$ est un entier, ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$ sont éléments de ${\displaystyle T}$ et pour chaque entier ${\displaystyle j}$ jusqu'à ${\displaystyle n}$, ${\displaystyle A_{t_{j}}}$ est un élément de ${\displaystyle P_{t_{j}}}$, forme un π-système.

En particulier, lorsque ${\displaystyle T=\{1,\ldots ,n\}}$ est fini, respectivement. ${\displaystyle T=\mathbb {N} }$, on obtient une construction plus simple de telle manière que l'on peut écrire le π-système comme suit : ${\displaystyle \{A_{1}\times \cdots \times A_{n}\mid A_{i}\in P_{i}{\text{ ou }}A_{i}=X_{i},\,i=1,\ldots n\}}$, respectivement ${\displaystyle \{\Pi _{i\in \mathbb {N} }A_{i}\mid A_{i}\in P_{i}{\text{ ou }}A_{i}=X_{i},\,i\in \mathbb {N} \}}$. On remarque aisément en supposant ${\displaystyle X_{i}}$ dans ${\displaystyle P_{i}}$ pour chaque ${\displaystyle i}$ que l'on peut simplifier encore ces expressions.

De tels systèmes se rencontrent bien souvent lorsque ${\displaystyle P_{t}}$ est en fait une tribu sur ${\displaystyle X_{t}}$, et donc en particulier un π-système. Dans ce cas la famille des cylindres est génératrice de la tribu cylindrique sur l'espace produit qui est une tribu d'usage classique dans l'étude des processus stochastiques [6].