Pentahectogone

Un 500-gone régulier est un 500-gone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a 100 : 99 étoilés (notés {500/k} pour k impair de 3 à 249 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {500}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le 500-gone régulier ».

Chacun des 500 angles au centre mesure ${\displaystyle {\frac {360^{\circ }}{500}}=0{,}72^{\circ }}$ et chaque angle interne mesure ${\displaystyle {\frac {89\,640^{\circ }}{500}}=179{,}28^{\circ }}$.

Si a est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut ${\displaystyle P=500\,a}$ ;
• l'aire vaut ${\displaystyle A=125\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{500}}\right)}$ ;
• l'apothème vaut ${\displaystyle H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{500}}\right)}$ ;
• le rayon vaut ${\displaystyle R={\frac {H}{\cos \left({\tfrac {\pi }{500}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\tfrac {\pi }{500}}\right)}}}$.