Pendule de Bessel

Le pendule simple de longueur variable a pour équation pour cette loi temporelle de l(t) où sa dérivée seconde est nulle :

${\displaystyle l(t){\ddot {x}}(t)+g(t)x(t)=0}$

Dans le cas habituel g est constant. Revenons à la fonction angulaire ${\displaystyle \theta ={\frac {x}{l}}}$:

${\displaystyle l(t){\ddot {\theta }}(t)+2v{\dot {\theta }}(t)+g\theta (t)=0}$

Posons comme nouvelle variable sans unité ${\displaystyle u=g{\frac {t}{v}}}$:

${\displaystyle l(u){\frac {g}{v^{2}}}{\ddot {\theta }}(u)+2{\dot {\theta }}(u)+\theta (u)=0}$

Puis pour simplifier, posons comme longueur ${\displaystyle L={\frac {v^{2}}{g}}}$:

${\displaystyle {\frac {l(u)}{L}}{\ddot {\theta }}(u)+2{\dot {\theta }}(u)+\theta (u)=0}$

On reconnait l'équation circuit RLC avec self variable linéairement, c'est un problème classique (voir obtention de champs magnétiques intenses). On peut encore transformer cette équation.

On fait un nouveau changement de variable sans unités ${\displaystyle \alpha =2{\sqrt {\frac {l(u)}{L}}}}$:

${\displaystyle 2{\ddot {\theta }}(\alpha )+2{\frac {{\dot {\theta }}(\alpha )}{\alpha }}+\theta (\alpha )=0}$

On change de fonction ${\displaystyle y(\alpha )=\alpha \theta (\alpha )}$, et on finit par trouver une équation de Bessel avec n=1:

${\displaystyle \alpha ^{2}{\ddot {y}}(\alpha )+\alpha {\dot {y}}+(\alpha ^{2}-1)y=0}$

Les solutions sont les fonctions de Bessel, fonctions classiques de la physique mathématique (cf Campbell, par exemple):

${\displaystyle y(\alpha )=A\quad J_{1}(\alpha )+B\quad Y_{1}(\alpha )}$

D'où ${\displaystyle \theta (\alpha )=A\quad {\frac {J_{1}(\alpha )}{\alpha }}+B\quad {\frac {Y_{1}(\alpha )}{\alpha }}}$

Tracé de θ(t).

${\displaystyle \theta _{0}=A{\frac {J_{1}(\alpha _{0})}{\alpha _{0}}}+B{\frac {Y_{1}(\alpha _{0})}{\alpha _{0}}}}$

${\displaystyle {\dot {\theta _{0}}}=-A{\frac {J_{2}(\alpha _{0})}{\alpha _{0}}}-B{\frac {Y_{2}(\alpha _{0})}{\alpha _{0}}}}$

On résout ce système linéaire de deux équations à deux inconnues et qui donne finalement :

${\displaystyle A=\alpha _{0}{\frac {\theta _{0}Y_{2}(\alpha _{0})+{\dot {\theta _{0}}}Y_{1}(\alpha _{0})}{J_{1}(\alpha _{0})Y_{2}(\alpha _{0})-J_{2}(\alpha _{0})Y_{1}(\alpha _{0})}}\ ,\ B=-\alpha _{0}{\frac {\theta _{0}J_{2}(\alpha _{0})+{\dot {\theta _{0}}}J_{1}(\alpha _{0})}{J_{1}(\alpha _{0})Y_{2}(\alpha _{0})-J_{2}(\alpha _{0})Y_{1}(\alpha _{0})}}}$

On peut même vérifier graphiquement, que si v est faible, E(t)T(t) est une constante (pendule adiabatique). Il faut néanmoins se rappeler qu'on s'est toujours placé dans le cas des petites oscillations. Bien sûr, n'importe quelle méthode numérique type Runge-Kutta donne les mêmes résultats sans obtenir la formule générale.

Pendule simple de longueur variable