Pendule simple de longueur variable

Le fil supportant la masse m est de masse négligeable, sans raideur et inextensible. Sa longueur est ${\displaystyle l(t)=OM}$, O étant fixe.

Le théorème du moment cinétique appliqué en O ou bien l'accélération orthoradiale donnent l'équation du mouvement :

$${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{(l^{2}{\dot {\theta }})}=-mgl\sin \theta }$$

ou

$${\displaystyle l^{2}{\ddot {\theta }}+2l{\dot {l}}{\dot {\theta }}+gl\sin \theta =0}$$

soit

$${\displaystyle {\ddot {\theta }}+2{\frac {\dot {l}}{l}}{\dot {\theta }}+{\frac {g}{l}}\sin \theta =0}$$

On peut y reconnaître une équation de pendule avec un terme de "résistance". Si la longueur se raccourcit, c'est une résistance "négative" : d'où l'intuition que l'amplitude va augmenter[1]. Cela, néanmoins n'est pas évident car g/l varie aussi. D'ailleurs, se pose la question pour l'arc ${\displaystyle L=l\theta }$, car l'équation satisfaite par L est :

$${\displaystyle {\ddot {L}}+g\sin {\frac {L}{l}}={\frac {\ddot {l}}{l}}L}$$

pour les faibles valeurs de L/l, elle se réduit à celle d'un pendule avec une pesanteur apparente (g - l") : l'arc L augmente-t-il ? On est ramené à un problème de pendule paramétrique.

Il se résume au théorème de l'énergie cinétique en coordonnées polaires : appelons l(t) = r, comme il est usuel. Les deux équations du pendule se réduisent à :

• ${\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2}=g\cos \theta -N}$
• ${\displaystyle r{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}{\dot {\theta }}=-g\sin \theta }$

Il faut multiplier la première par ${\displaystyle {\dot {r}}}$ et la deuxième par ${\displaystyle r{\dot {\theta }}}$ pour faire apparaître l'énergie cinétique :

$${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}({\dot {r}}^{2}+r{\dot {\theta }}^{2})+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(gz)=-N{\dot {r}}=P}$$

Il apparaît que la puissance P de la grue ne se limite pas à lutter contre la pesanteur.

Au lieu de laisser filer le fil au travers de la perle située en O, on peut au contraire élever la perle-de-céramique en A , ${\displaystyle l(t)=OA(t)}$ avec une vitesse dl/dt. L'analyse est la même à condition de se placer dans le référentiel accéléré R (origine A) où la pesanteur apparente est simplement g - l". L'équation en L(t) se simplifie encore ; en fait il faudrait montrer l'identité des deux expériences ; là aussi le bilan d'énergie requiert de l'attention.

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