Onde équatoriale

La vitesse de propagation des ondes peut être calculée quand on considère l'écoulement d'un fluide non visqueux dans une couche d'épaisseur uniforme H. Parce que le paramètre « f » de la force de Coriolis (f= 2Ω sin(θ) où Ω est le moment angulaire de la Terre, 7,2921 ${\displaystyle \times }$ 10⁻⁵ rad/s, et θ est la latitude) est zéro près de l'Équateur, il faut faire une approximation[2]. Celle-ci se nomme approximation du plan Beta (β) où f est estimé par βy où β est la variation de f avec la distance à l'Équateur (${\displaystyle {\partial f}/{\partial y}=\beta }$) et y est la distance de l'Équateur [2].

Le calcul néglige la friction et utilise cette approximation[2] - [3] :

• Avec l'équation de continuité, qui tient compte des effets de convergence et de divergence horizontales de l'air, on obtient une variation du géopotentiel (Φ) avec le temps de :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+c^{2}\left({\frac {\partial v}{\partial y}}+{\frac {\partial u}{\partial x}}\right)=0}$

• La composante est-ouest u dit zonale du vent est :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-v\beta y=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$

• La composante nord-sud v du vent est :

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u\beta y=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}}$

La solution de ces trois équations à trois inconnues donne une solution exponentielle de la forme :

${\displaystyle {\begin{Bmatrix}u,v,\phi \end{Bmatrix}}={\begin{Bmatrix}{\hat {u}}(y),{\hat {v}}(y),{\hat {\phi }}(y)\end{Bmatrix}}e^{i(kx-\omega t)}}$

En utilisant le terme ω pour remplacer la fréquence angulaire, on obtient trois solutions pour les vitesses de déplacements horizontales, verticales et latitudinaires. Celles-ci correspondent au déplacement des ondes de Rossby, de gravité et mixtes gravité-Rossby[2]. Les ondes de gravité peuvent se déplacer vers l'est ou l'ouest. Les ondes de gravité-Rossby, observées pour la première dans la stratosphère le chercheur japonais M. Yanai en 1966, transporte toujours l'énergie produite vers l'est mais le déplacement des crêtes et des creux peut être vers l'ouest si la période de l'onde est assez longue, la vitesse de groupe et la vitesse de phase pouvant être de directions différentes[4].

C'est Lord Kelvin qui a le premier remarqué des ondes se propageant le long des côtes mais se dissipant si on s'en éloigne. Ces ondes de Kelvin se propagent vers la droite dans l'hémisphère nord et la gauche dans celui du sud. Les ondes équatoriales de Kelvin suivent la même règle et se comportent un peu comme si l'Équateur était un mur et vont se déplacer vers l'est de chaque côté de celui-ci[2].

Les équations utilisées pour trouver le mouvement de ces ondes sont les mêmes qu'antérieurement sauf qu'il n'y a pas de mouvement méridional (${\displaystyle \scriptstyle \partial v=0}$) dans ce cas (aucun mouvement nord-sud) :

• Avec l'équation de continuité, qui tient compte des effets de convergence et de divergence horizontales de l'air, on obtient une variation du géopotentiel avec le temps de[2] :

${\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+c^{2}{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}$

• La composante zonale du vent est :

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=-{\frac {\partial \phi }{\partial x}}}$

• La composante nord-sud du vent est :

${\displaystyle u\beta y=-{\frac {\partial \phi }{\partial y}}}$

La solution de ces équations donne une vitesse de phase de : c² = gH, la même solution que pour une onde de gravité dans un fluide peu profond sans les effets de la rotation de la Terre[2]. Ces ondes sont en conséquence non dispersives, parce que la vitesse de phase est indépendante du nombre d'onde. Elles se propagent uniquement vers l'est parce que lorsque Φ tend vers zéro, y tend vers l'infini[3].

• Dynamique des fluides
• Équations primitives atmosphériques
• Onde de Rossby

• (en) David S. Battisti et Michela Biasutti, « Developing a Theory for ENSO (Développement d'une théorie de l'ENSO) », UCAR (consulté le 21 août 2010)