Nombre premier de Ramanujan

En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration[1] du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :

${\displaystyle \forall n,\ \exists N,\ x\geq N\Rightarrow \pi (x)-\pi (x/2)\geq n}$, en particulier

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ ≥ 1, 2, 3, 4, 5, ... pour tout x ≥ 2, 11, 17, 29, 41, ... suite A104272 de l'OEIS respectivement,

où ${\displaystyle \pi }$(x) est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x.

L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres 2, 11, 17, 29, 41 sont les premiers nombres conformes à cette définition. Autrement dit :

Le nième premier de Ramanujan est l'entier R_n qui est le plus petit à satisfaire la condition

${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ ≥ n, pour tout x ≥ R_n[2].

Une autre façon de poser ce résultat est:

Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers R_n qui sont les plus petits à garantir qu'il y a n premiers entre x et x/2 pour tout x ≥ R_n.

Puisque R_n est le plus petit nombre conforme à ces conditions, il doit être premier: ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ et donc ${\displaystyle \pi (x)}$ doivent augmenter en obtenant un autre nombre premier x = R_n. Puisque ${\displaystyle \pi (x)-\pi (x/2)}$ peut augmenter d'au moins 1,

${\displaystyle \pi (}$R_n${\displaystyle )-\pi (}$R_n${\displaystyle /2)=n}$.

Par exemple, le nombre de nombres premiers entre 13 et sa moitié (6,5) est égal à trois (ce sont 7, 11 et 13). Cependant, 13 n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car entre 16 et sa moitié 8, il n'y a que deux nombres premiers (11 et 13). Ce n'est qu'à partir de 17 qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers entre x/2 et x, et donc on a bien ${\displaystyle R_{3}=17}$.

Les premiers éléments de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont :

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, etc.

Pour tout n ≥ 1,

2n ln 2n < R_n < 4n ln 4n

Si n > 1, alors

p_2n < R_n < p_3n,

où p_n est le nième nombre premier.

Si n tend vers l'infini, R_n est équivalent au 2nième premier, i.e.,

R_n ~ p_2n,

et donc, en utilisant le théorème des nombres premiers,

R_n ~ 2n ln n.

Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate"[3], excepté l'inégalité ci-dessus R_n < p_3n, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram en 2010.