Nombre multicomplexe (Fleury)
En mathĂ©matiques, les nombres multicomplexes de symbole (n â â*) constituent une famille dâalgĂšbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension n sur â. Ils ont Ă©tĂ© introduits par Norbert Fleury en 1993.
DĂ©finition
Soit un Ă©lĂ©ment e[note 1] tel que en = â1 et tel que (1,e,e2,âŠ,enâ1) soit une famille libre : đân est alors dĂ©fini comme lâalgĂšbre rĂ©elle gĂ©nĂ©rĂ©e par cette famille[note 2] - [1] - [2].
Propriétés algébriques
- Chaque algĂšbre đân est un cas particulier dâalgĂšbre de Clifford gĂ©nĂ©ralisĂ©e (en)[3].
- Comme en+1 = 0, chaque algĂšbre đân est canoniquement isomorphe Ă lâalgĂšbre quotient (en) â[X]Xn+1.
- Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut sâĂ©crire sous forme polaire : [4].
Sommes directes et produits tensoriels
- Chaque algĂšbre đân est isomorphe Ă une somme directe[note 3] impliquant â et â[5] :
- si n est pair :
- si n est impair :
- ce que lâon peut Ă©crire de maniĂšre compacte : đân â ân mod 2 Ă âân/2â.
- si n est pair :
- Il sâensuit immĂ©diatement que :
- si m et n ne sont pas simultanĂ©ment impairs, đâm â đân â đâm+n ;
- si m et n sont simultanĂ©ment impairs, đâm â đân â đâm+nâ2 â [note 5].
- En utilisant les propriĂ©tĂ©s prĂ©cĂ©dentes, la distributivitĂ© du produit tensoriel d'algĂšbres ââ par rapport Ă la somme directe â et lâisomorphisme[note 6] đâ4 â â ââ â, on dĂ©montre alors aisĂ©ment que đâm ââ đân â đâmn.
Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre
- đâ2n â ân.
Sous-algĂšbres
- đânâ1 â đân.
- âân/2â â đân.
- DâoĂč â(n+1)/4â â đân.
- âân/2â â đân.
Cas particulier : đâ3
Au XIXe siĂšcle, aprĂšs que lâidĂ©e de reprĂ©senter les nombres complexes sous la forme gĂ©omĂ©trique dâun plan 2D a Ă©tĂ© avancĂ©e, les mathĂ©maticiens ont cherchĂ© Ă Ă©tendre la notion de complexe Ă lâespace 3D, mais sans succĂšs. Câest finalement en abandonnant lâĂ©galitĂ© du nombre de dimensions entre lâalgĂšbre hypercomplexe cherchĂ©e et lâespace gĂ©omĂ©trique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans lâespace ont Ă©tĂ© dĂ©couverts. MalgrĂ© le succĂšs des quaternions, les recherches dâune algĂšbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriĂ©tĂ©s similaires aux opĂ©rations gĂ©omĂ©triques dans lâespace ont continuĂ©, plusieurs auteurs arrivant finalement et indĂ©pendamment Ă lâalgĂšbre đâ3[6] ou lâun de ses isomorphes triviaux[7] - [note 7].
Voir aussi
Bibliographie
- (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 180, no 2,â , p. 431â457 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1993.1410, lire en ligne [PDF], consultĂ© le )
- (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 191, no 1,â , p. 118â136 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1995.1123, lire en ligne [PDF], consultĂ© le )
- Michel Rausch de Traubenberg, AlgĂšbres de Clifford, SupersymĂ©trie et SymĂ©tries â€n, Applications en ThĂ©orie des Champs (habilitation Ă diriger des recherches), Strasbourg, UniversitĂ© Louis Pasteur, (arXiv hep-th/9802141), chap. 1.2 (« Extension des nombres complexes »), p. 20â29
- (en) Silviu Olariu, Complex Numbers in Three Dimensions, (arXiv math/0008120)[note 8]
- (en) Shlomo Jacobi, On a novel 3D hypercomplex number system, (arXiv 1509.01459)
Notes et références
Notes
- Ă ne pas confondre avec la constante de NĂ©per.
- Cette famille libre constitue donc, par dĂ©finition, une base de lâalgĂšbre hypercomplexe gĂ©nĂ©rĂ©e.
- Le nombre de facteurs Ă©tant fini, la somme directe â est Ă©quivalente au produit direct Ă.
- Le cas n impair donné dans ce document est erroné.
- dĂ©signe les nombres complexes dĂ©ployĂ©s, lesquels sont isomorphes Ă â â â.
- Non démontré ici.
- Par simple changement de base (1,h,k) = (1,âe,e2).
- Lâauteur nomme « nombres tricomplexes » lâisomorphisme de đâ3 quâil Ă©tudie, mais ils ne doivent pas ĂȘtre confondus avec les « nombres tricomplexes » dĂ©signant historiquement â3.