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Nombre multicomplexe (Fleury)

En mathĂ©matiques, les nombres multicomplexes de symbole (n ∈ ℕ*) constituent une famille d’algĂšbres hypercomplexes associatives et commutatives de dimension n sur ℝ. Ils ont Ă©tĂ© introduits par Norbert Fleury en 1993.

DĂ©finition

Soit un Ă©lĂ©ment e[note 1] tel que en = −1 et tel que (1,e,e2,
,en−1) soit une famille libre : 𝓜ℂn est alors dĂ©fini comme l’algĂšbre rĂ©elle gĂ©nĂ©rĂ©e par cette famille[note 2] - [1] - [2].

Propriétés algébriques

  • Chaque algĂšbre 𝓜ℂn est un cas particulier d’algĂšbre de Clifford gĂ©nĂ©ralisĂ©e (en)[3].
  • Comme en+1 = 0, chaque algĂšbre 𝓜ℂn est canoniquement isomorphe Ă  l’algĂšbre quotient (en) ℝ[X]/Xn+1.
  • Tout nombre multicomplexe de pseudo-norme non nulle peut s’écrire sous forme polaire : [4].

Sommes directes et produits tensoriels

  • Chaque algĂšbre 𝓜ℂn est isomorphe Ă  une somme directe[note 3] impliquant ℝ et ℂ[5] :
    • si n est pair :
    • si n est impair :
    • ce que l’on peut Ă©crire de maniĂšre compacte : 𝓜ℂn ≅ ℝn mod 2 × ℂ⌊n/2⌋.
  • Il s’ensuit immĂ©diatement que :
    • si m et n ne sont pas simultanĂ©ment impairs, 𝓜ℂm ⊕ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂm+n ;
    • si m et n sont simultanĂ©ment impairs, 𝓜ℂm ⊕ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂm+n−2 ⊕ [note 5].
  • En utilisant les propriĂ©tĂ©s prĂ©cĂ©dentes, la distributivitĂ© du produit tensoriel d'algĂšbres ⊗ℝ par rapport Ă  la somme directe ⊕ et l’isomorphisme[note 6] 𝓜ℂ4 ≅ ℂ ⊗ℝ ℂ, on dĂ©montre alors aisĂ©ment que 𝓜ℂm ⊗ℝ 𝓜ℂn ≅ 𝓜ℂmn.

Isomorphisme avec les nombres multicomplexes de Segre

Sous-algĂšbres

  • 𝓜ℂn−1 ⊂ 𝓜ℂn.
  • ℝ⌈n/2⌉ ⊂ 𝓜ℂn.
  • D’oĂč ⌊(n+1)/4⌋ ⊂ 𝓜ℂn.
  • ℂ⌊n/2⌋ ⊂ 𝓜ℂn.

Cas particulier : 𝓜ℂ3

Au XIXe siĂšcle, aprĂšs que l’idĂ©e de reprĂ©senter les nombres complexes sous la forme gĂ©omĂ©trique d’un plan 2D a Ă©tĂ© avancĂ©e, les mathĂ©maticiens ont cherchĂ© Ă  Ă©tendre la notion de complexe Ă  l’espace 3D, mais sans succĂšs. C’est finalement en abandonnant l’égalitĂ© du nombre de dimensions entre l’algĂšbre hypercomplexe cherchĂ©e et l’espace gĂ©omĂ©trique que les quaternions, de dimension 4, et leurs liens avec les rotations dans l’espace ont Ă©tĂ© dĂ©couverts. MalgrĂ© le succĂšs des quaternions, les recherches d’une algĂšbre hypercomplexe de dimension 3 exhibant des propriĂ©tĂ©s similaires aux opĂ©rations gĂ©omĂ©triques dans l’espace ont continuĂ©, plusieurs auteurs arrivant finalement et indĂ©pendamment Ă  l’algĂšbre 𝓜ℂ3[6] ou l’un de ses isomorphes triviaux[7] - [note 7].

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Commutative Extended Complex Numbers and Connected Trigonometry », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 180, no 2,‎ , p. 431–457 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1993.1410, lire en ligne [PDF], consultĂ© le )
  • (en) Norbert Fleury, Michel Rausch de Traubenberg et Robert Masgutovich Yamaleev, « Extended Complex Number Analysis and Conformal-like Transformations », Journal of Mathematical Analysis and Applications, vol. 191, no 1,‎ , p. 118–136 (ISSN 0022-247X, DOI 10.1006/jmaa.1995.1123, lire en ligne [PDF], consultĂ© le )
  • Michel Rausch de Traubenberg, AlgĂšbres de Clifford, SupersymĂ©trie et SymĂ©tries â„€n, Applications en ThĂ©orie des Champs (habilitation Ă  diriger des recherches), Strasbourg, UniversitĂ© Louis Pasteur, (arXiv hep-th/9802141), chap. 1.2 (« Extension des nombres complexes »), p. 20–29
  • (en) Silviu Olariu, Complex Numbers in Three Dimensions, (arXiv math/0008120)[note 8]
  • (en) Shlomo Jacobi, On a novel 3D hypercomplex number system, (arXiv 1509.01459)

Notes et références

Notes

  1. À ne pas confondre avec la constante de NĂ©per.
  2. Cette famille libre constitue donc, par dĂ©finition, une base de l’algĂšbre hypercomplexe gĂ©nĂ©rĂ©e.
  3. Le nombre de facteurs Ă©tant fini, la somme directe ⊕ est Ă©quivalente au produit direct ×.
  4. Le cas n impair donné dans ce document est erroné.
  5. dĂ©signe les nombres complexes dĂ©ployĂ©s, lesquels sont isomorphes Ă  ℝ ⊕ ℝ.
  6. Non démontré ici.
  7. Par simple changement de base (1,h,k) = (1,−e,e2).
  8. L’auteur nomme « nombres tricomplexes » l’isomorphisme de 𝓜ℂ3 qu’il Ă©tudie, mais ils ne doivent pas ĂȘtre confondus avec les « nombres tricomplexes » dĂ©signant historiquement ℂ3.

Références

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