Moyenne de Reynolds

On rappelle la forme de l'équation de Navier-Stokes dans le cas des fluides incompressibles :

${\displaystyle \rho \partial _{t}u_{i}+\sum _{j}\rho u_{j}\partial _{j}u_{i}=-\rho g_{i}+\sum _{j}\partial _{j}\sigma _{i,j}}$

avec les notations

${\displaystyle \partial _{t}=\left({\partial \over {\partial t}}\right)\,,\;\;\;\partial _{j}=\left({\partial \over {\partial x_{j}}}\right)}$

Cette équation s'écrit sous une forme plus compacte :

${\displaystyle \rho \partial _{t}\mathbf {u} +\rho (\mathbf {u} \cdot \mathbf {\nabla } )\mathbf {u} =-\rho \mathbf {g} +\nabla \cdot {\overline {\overline {\sigma }}}}$

où ${\displaystyle u_{i}(t,x_{j})}$ représente la i^ème composante du champ de vitesses instantanées à l'instant t aux coordonnées ${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}$ dans le fluide, ${\displaystyle \partial _{t}u}$ et ${\displaystyle \partial _{i}u}$ représentent respectivement les dérivations partielles par rapport au temps et par rapport à la i^ème coordonnée spatiale, ${\displaystyle \rho }$ représente la densité du fluide, ici constante d'après l'hypothèse d'incompressibilité et ${\displaystyle {\overline {\overline {\sigma }}}}$ le tenseur des contraintes défini par ses composantes :

${\displaystyle \sigma _{i,j}=-p\delta _{i,j}+\mu \left(\left({\partial u_{i} \over \partial r_{j}}\right)+\left({\partial u_{j} \over \partial r_{i}}\right)\right)}$

où ${\displaystyle \delta _{i,j}}$ est le symbole de Kronecker, qui vaut 1 si i = j et 0 sinon.

g est la densité volumique de la force extérieure appliquée.

L'utilisation de la décomposition de Reynolds se justifie lorsqu'on a affaire à un phénomène présentant un spectre séparé en deux parties nettement distinctes : une bande de basses fréquences ou de régime quasi-permanent, de contribution moyenne sinon constante, du moins variant peu au cours du temps, nettement séparée d'une bande de régimes transitoires de haute fréquence et de contribution moyenne nulle. Ainsi :

${\displaystyle \mathbf {u} (t,\mathbf {r} )={\overline {\mathbf {u} }}(t,\mathbf {r} )+\mathbf {u'} (t,\mathbf {r} )}$

où la barre au-dessus du u signale la moyenne statistique, l'apostrophe sur le u signale le terme d'écart par rapport à cette moyenne. Cet artifice permet de faire apparaître un problème à variation spatio-temporelle lente, éventuellement de dimension 2 là où le problème turbulent est à variations rapides et généralement de dimension 3.

La moyenne suit les règles suivantes :

• la moyenne est linéaire, donc

  • ${\displaystyle {\overline {\overline {f}}}={\bar {f}}}$ (la moyenne de la moyenne est la moyenne elle-même)

    ${\displaystyle {\overline {f+g}}={\bar {f}}+{\bar {g}}}$ (la moyenne d'une somme est la somme des moyennes)

    ${\displaystyle {\overline {{\overline {f}}g}}={\bar {f}}{\bar {g}}}$

• la moyenne d'un produit est égale au produit des moyennes, augmenté de la moyenne du produit des fluctuations

  • ${\displaystyle {\overline {fg}}={\bar {f}}{\bar {g}}+{\overline {f'g'}}}$

• la moyenne de la dérivée partielle est la dérivée partielle de la moyenne

  • ${\displaystyle {\overline {\frac {\partial f}{\partial s}}}={\frac {\partial {\bar {f}}}{\partial s}}}$

• la moyenne d'une fluctuation est nulle (par définition)

  • ${\displaystyle {\bar {u^{\prime }}}=0}$.

On introduit la notion de fluctuation pour toutes les variables :

${\displaystyle u_{i}={\bar {u_{i}}}+u_{i}^{\prime }\,,\ p={\bar {p}}+p^{\prime }}$ ,  etc.

En moyennant les équations de Navier-Stokes (ce qui a pour effet de faire disparaitre les termes de fluctuation rapides, qui sont de moyenne nulle), celles-ci deviennent

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}}={\overline {{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}}}={\overline {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{i}}}}={\frac {\partial {\overline {\overline {u_{i}}}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }}}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\overline {\overline {u_{i}}}}}{\partial x_{i}}}={\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{j}^{\prime }{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{j}}}}}={\bar {g_{i}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$

d'où :

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u_{j}}}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}={\bar {g_{i}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial {\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}{\partial x_{j}}}}$

Le même calcul plus général peut être mené avec le tenseur des contraintes ${\displaystyle \sigma _{i,j}}$ au lieu de la viscosité ${\displaystyle \nu }$. L'équation de Navier-Stokes devient l'équation de Reynolds :

${\displaystyle \rho \left({\partial {{\overline {u}}_{i}} \over \partial t}+\sum _{j}{\overline {u}}_{j}\left({\partial {\overline {u}}_{i} \over \partial x_{j}}\right)\right)=\rho {\overline {g}}_{i}+\sum _{j}\left({\partial \over \partial x_{j}}\right)({\sigma _{i,j}-\rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}})}$

ce qui peut encore s'écrire :

${\displaystyle \rho ({\partial _{t}}+(\mathbf {\overline {u}} \cdot \nabla ))({\mathbf {\overline {u}} })=\rho {\overline {\mathbf {g} }}+\nabla _{j}.(\mathbf {\overline {\overline {\sigma }}} -\rho {\overline {\mathbf {u'\otimes u'} }})_{i,j}}$

Il reste donc un terme fonction des fluctuations rapides, mais seulement par le truchement de leur variance, c’est-à-dire de la moyenne de leur carré qui en fait donc un terme sinon constant du moins variant peu. Le terme ${\displaystyle (\rho {\overline {\mathbf {u'\otimes u'} }})_{i,j}}$ est appelé tenseur de Reynolds.

• La demi-trace du tenseur de Reynolds s'identifie de façon évidente avec la densité de l'énergie cinétique turbulente moyenne.
• La partie non diagonale du tenseur de Reynolds peut être interprétée comme un terme de viscosité supplémentaire s'appliquant à l'écoulement moyen en s'ajoutant à la viscosité cinématique ν et baptisée viscosité turbulente.
• Le tenseur de Reynolds obéit à une équation de transport, qui fait apparaître elle-même un terme de corrélations triples  ${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}u_{k}}}}$

• (en) S. B. Pope, Turbulent Flows, Cambridge University Press, 2000
• (en) Uriel Frisch, Turbulence, Cambridge University Press, 1995
• (en) Olivier Darrigol, Worlds of Flow, Oxford University Press, 2005 (ISBN 978-0-19-856843-8, lire en ligne)