Modèle NK

Visualisation en 2D d'un paysage adaptatif NK. Les flèches représentent divers chemins mutationnels que la population est capable de suivre lors de son évolution dans le paysage adaptatif.

Le modèle NK définit un espace des phases combinatoire, dans lequel chaque chaîne de caractères (choisie à partir d'un alphabet donné) de longueur ${\displaystyle N}$. Pour chaque chaîne dans cet espace de recherche, une valeur scalaire (appelée fonction de fitness) est définie. Si une distance métrique est définie entre les chaînes, la structure résultante constitue un paysage.

Les valeurs de fitness sont définies selon une incarnation spécifique du modèle, mais la caractéristique-clé du modèle NK est que la fitness d'une chaîne ${\displaystyle S}$ donnée correspond à la somme des contributions de chaque locus ${\displaystyle S_{i}}$ dans la chaîne :

${\displaystyle F(S)=\sum _{i}f(S_{i}),}$

et la contribution de chaque locus en général dépend de la valeur des ${\displaystyle K}$ autre loci :

${\displaystyle f(S_{i})=f(S_{i},S_{1}^{i},\dots ,S_{K}^{i}),}$

où les ${\displaystyle S_{j}^{i}}$ correspondent aux autres loci dont dépend la fitness des ${\displaystyle S_{i}}$.

Ainsi, la fonction de fitness ${\displaystyle f(S_{i},S_{1}^{i},\dots ,S_{K}^{i})}$ est une cartographie entre des chaînes de longueur K+1 et des scalaires, ce que Weinberger a appelé plus tard les contributions à la fitness. De telles contributions à la fitness sont souvent choisies de façon aléatoire à partir d'une certaine distribution de probabilité spécifique.

En 1991[5], Weinberger a publié une analyse détaillée du cas où ${\displaystyle 1<<k\leq N}$ et les contributions à la fitness sont choisies aléatoirement. Son estimation analytique du nombre d'optima locaux s'est par la suite révélée imparfaite. Cependant, des expériences numériques incluses dans l'analyse de Weinberger sont en faveur de son résultat analytique selon lequel la fitness attendue d'une chaîne suit une distribution normale avec une moyenne approximative de

${\displaystyle \mu +\sigma {\sqrt {{2\ln(k+1)} \over {k+1}}}}$

et une variance approximative de

${\displaystyle {{(k+1)\sigma ^{2}} \over {N[k+1+2(k+2)\ln(k+1)]}}}$.

Illustration d'une topologie ajustable dans le modèle NK. Les nœuds correspondent à des chaînes individuelles binaires, et les arêtes les connectent par une distance de Hamming de valeur exacte 1. Gauche : N = 5, K = 0 ; Centre : N = 5, K = 1 ; Droite : N = 5, K = 2. La couleur d'un nœud indique sa fitness, avec des valeurs plus vers le rouge ayant une fitness plus forte. Le plongement de l'hypercube est choisi de telle sorte que la valeur maximale de fitness est au centre. Noter que le paysage où K = 0 apparaît plus lisse que les cas où K est plus élevé.

Par souci de simplicité et de compréhension, on va travailler dans cet exemple avec des chaînes binaires. On considère un modèle NK avec N = 5 et K = 1. Ici, la fitness d'une chaîne est donnée par la somme des contributions à la fitness individuelles de chacun des 5 loci. Chaque contribution à la fitness dépend de la valeur du locus local ainsi que d'une autre. On va utiliser la convention selon laquelle ${\displaystyle f(S_{i})=f(S_{i},S_{i+1})}$, de façon que chaque locus est affecté par son voisin, ainsi que ${\displaystyle f(S_{5})=f(S_{5},S_{1})}$ pour la cyclicité. Si l'on choisit par exemple les fonctions de fitness f(0, 0) = 0, f(0,1) = 1, f(1, 0) = 2 et f(1, 1) = 0, les valeurs de fitness des deux exemples de chaînes se calculent comme suit :

${\displaystyle F(00101)=f(0,0)+f(0,1)+f(1,0)+f(0,1)+f(1,0)=0+1+2+1+2=6}$

${\displaystyle F(11100)=f(1,1)+f(1,1)+f(1,0)+f(0,0)+f(0,1)=0+0+2+0+1=3}$

La valeur de K contrôle le degré d'épistasie dans le modèle NK, ou bien à quel point les autres loci affectent la contribution à la fitness d'un locus donné. Avec K = 0, la fitness d'une chaîne donnée est une somme simple des contributions individuelles des loci : pour des fonctions de fitness non triviales, on a la présence d'un optimum global facile à localiser (le génome de tous les 0 si f(0) > f(1), ou de tous les 1 si f(1) > f(0)). Pour K non nul, la fitness d'une chaîne est la somme des fitness des sous-chaînes, qui peuvent interagir pour frustrer le système (voir la façon dont on obtient la fitness optimale dans l'exemple ci-dessus). Augmenter la valeur de K augmente ainsi la rugosité du paysage adaptatif.

Le modèle NK a trouvé son utilité dans de nombreux domaines, dont l'étude des verres de spin, l'épistasie et la pléiotropie en biologie évolutive, ainsi que l'optimisation combinatoire.