Méthode de Boucherot

Soient ${\displaystyle n}$ dipôles linéaires associés en série. Chaque dipôle ${\displaystyle k}$ possède une impédance ${\displaystyle {\underline {Z}}=R_{k}+jX_{k}}$, est traversé par un courant ${\displaystyle {\underline {i}}}$ d'expression ${\displaystyle {\sqrt {2}}I_{eff}e^{j\varphi _{i}}e^{j\omega t}}$ et dont la tension ${\displaystyle {\underline {u_{k}}}}$ à ses bornes est d'expression ${\displaystyle {\sqrt {2}}U_{k_{eff}}e^{j\varphi _{u_{k}}}e^{j\omega t}}$.

D'après la loi d'Ohm et loi des mailles, on peut écrire :

${\displaystyle {\underline {u}}=\sum _{k=1}^{n}{\underline {u_{k}}}={\underline {i}}\sum _{k=1}^{n}{\underline {Z_{k}}}\iff {\sqrt {2}}U_{eff}e^{j\varphi _{u}}e^{j\omega t}={\sqrt {2}}I_{eff}e^{j\varphi _{i}}e^{j\omega t}(\sum _{k=1}^{n}R_{k}+j\sum _{k=1}^{n}X_{k})}$

D'où :

${\displaystyle U_{eff}e^{j\varphi }=\sum _{k=1}^{n}R_{k}I_{eff}+j\sum _{k=1}^{n}X_{k}I_{eff}}$

En identifiant partie réelle et partie imaginaire, on peut en déduire le système suivant :

${\displaystyle {\begin{cases}U_{eff}cos(\varphi )=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}R_{k}I_{eff}\\\\U_{eff}sin(\varphi )=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}X_{k}I_{eff}\end{cases}}}$

Et donc en multipliant par ${\displaystyle I_{eff}}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}P_{T}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}P_{i}\\\\Q_{T}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}Q_{i}\end{cases}}}$

Soient ${\displaystyle n}$ dipôles linéaires associés en parallèle. Chaque dipôle ${\displaystyle k}$ possède une impédance ${\displaystyle {\underline {Z}}=R_{k}+jX_{k}}$, est traversé par un courant ${\displaystyle {\underline {i_{k}}}}$ d'expression ${\displaystyle {\sqrt {2}}I_{k_{eff}}e^{j\varphi _{i_{k}}}e^{j\omega t}}$ et dont la tension ${\displaystyle {\underline {u}}}$ à ses bornes est d'expression ${\displaystyle {\sqrt {2}}U_{eff}e^{j\varphi _{u}}e^{j\omega t}}$.

D'après la loi des nœuds et la loi d'Ohm, on peut écrire :

${\displaystyle {\underline {i}}=\sum _{k=1}^{n}{\underline {i_{k}}}={\underline {u}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{\underline {Z}}}={\underline {u}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{R_{k}+jX_{k}}}={\underline {u}}\sum _{k=1}^{n}{\frac {R_{k}-jX_{k}}{R_{k}^{2}+X_{k}^{2}}}}$

Donc :

${\displaystyle \displaystyle {\sqrt {2}}I_{eff}e^{j\varphi _{i}}e^{j\omega t}={\sqrt {2}}U_{eff}e^{j\varphi _{u}}e^{j\omega t}\sum _{k=1}^{n}{\frac {R_{k}-jX_{k}}{R_{k}^{2}+X_{k}^{2}}}}$

Et donc encore :

${\displaystyle \displaystyle I_{eff}e^{-j\varphi }=\sum _{k=1}^{n}{\frac {R_{k}}{R_{k}^{2}+X_{k}^{2}}}U_{eff}-j\sum _{k=1}^{n}{\frac {X_{k}}{R_{k}^{2}+X_{k}^{2}}}U_{eff}}$

En identifiant les parties réelles et imaginaires :

${\displaystyle {\begin{cases}\displaystyle I_{eff}cos(\varphi )&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {R_{k}}{R_{k}^{2}+X_{k}^{2}}}U_{eff}\\\\I_{eff}sin(\varphi )&=&\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {X_{k}}{R_{k}^{2}+X_{k}^{2}}}U_{eff}\end{cases}}}$

Et donc en multipliant par ${\displaystyle U_{eff}}$ :

${\displaystyle {\begin{cases}P_{T}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}P_{i}\\\\Q_{T}=\displaystyle \sum _{k=1}^{n}Q_{i}\end{cases}}}$

Et donc, les puissances actives et réactives se sommant pour des associations en série et en parallèle, on a donc terminé notre démonstration.