Loi parabolique

La densité de probabilité de la loi parabolique est :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\alpha \left(x-\beta \right)^{2}&{\hbox{ pour }}x\in [\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3},\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}]\\0&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \alpha >0}$, ${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} }$.

Il est parfois plus simple de considérer la fonction de densité sous une forme différente :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {3}{2b}}\left({\frac {x-a}{b}}\right)^{2}&{\hbox{ pour }}x\in [a-b,a+b]\\0&{\hbox{ sinon.}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle b>0}$.

Les coefficients ${\displaystyle a=\beta }$ représentent la moyenne de la loi. Les coefficients ${\displaystyle \alpha ={\frac {3}{2b^{3}}}}$ donnent l'échelle verticale de la parabole.

La fonction de répartition de la loi parabolique est :

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}\\\displaystyle {\alpha \over 3}\left((x-\beta )^{3}-{\frac {3}{2\alpha }}\right)&{\hbox{ pour }}x\in [\beta -({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3},\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}]\\1&{\hbox{ pour }}x>\beta +({\frac {3}{2\alpha }})^{1/3}\end{cases}}}$

ou

${\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&{\hbox{ pour }}x<a-b\\{\frac {1}{2}}\left[\left({\frac {x-a}{b}}\right)^{3}+1\right]&{\hbox{ pour }}x\in [a-b,a+b]\\1&{\hbox{ pour }}x>b+a\end{cases}}}$

Cette loi est un modèle utile pour des processus symétriques. D'autres lois continues permettent plus de flexibilité en termes de relâchement de symétrie et de forme parabolique de la densité, comme la loi bêta, la loi Gamma…

• Horst Rinne, « (en) Location–Scale Distributions - Linear Estimation and Probability Plotting Using MATLAB », 2010 (consulté le 7 mars 12), p. 167