Loi inverse-gaussienne généralisée

La densité de probabilité de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par[2] :

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}}{x}})}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}$

où ${\displaystyle \scriptstyle K_{\lambda }}$ est la fonction de Bessel modifiée de troisième espèce et de paramètre ${\displaystyle \scriptstyle \lambda }$, et les paramètres vérifient :

${\displaystyle {\begin{cases}\delta \geq 0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda >0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda =0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma \geq 0\;&{\text{ si }}\lambda <0.\end{cases}}}$

L'entropie de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par :

${\displaystyle H(f(x))=\log \left({\frac {\delta }{\gamma }}\right)+\log \left(2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)\right)-(\lambda -1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]_{\nu =\lambda }}{K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}}+{\frac {\delta \gamma }{2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}}\left(K_{\lambda +1}\left(\delta \gamma \right)+K_{\lambda -1}\left(\delta \gamma \right)\right)}$

où ${\displaystyle \left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]_{\nu =\lambda }}$ est la dérivée par rapport à l'ordre ${\displaystyle \nu }$ de la fonction de Bessel modifiée et évaluée en ${\displaystyle \nu =\lambda }$.

• Lorsque ${\displaystyle \scriptstyle \lambda =-1/2}$, la loi ${\displaystyle \scriptstyle {\text{GIG}}(-1/2,\delta ,\gamma )}$ est une loi inverse-gaussienne[2].
• La loi gamma est un cas particulier de la loi inverse-gaussienne généralisée pour ${\displaystyle \scriptstyle \delta =0}$[2].