Loi de von Mises bivariée

La loi de von Mises bivariée est une loi de probabilité définie sur un tore, ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ plongé dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ . La forme générale de la fonction de densité d'une distribution de von Mises bivariée pour des angles ${\displaystyle \phi ,\psi \in [0,2\pi ]}$ est donnée par :${\displaystyle f(\phi ,\psi )\propto \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+(\cos(\phi -\mu ),\sin(\phi -\mu ))\mathbf {A} (\cos(\psi -\nu ),\sin(\psi -\nu ))^{T}],}$

où ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$ sont les moyennes associées à ${\displaystyle \phi }$ et ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \kappa _{1}}$ et ${\displaystyle \kappa _{2}}$ leur concentration (une mesure inverse de la dispersion statistique) et la matrice ${\displaystyle \mathbf {A} \in \mathbb {M} (2,2)}$ est une mesure de leur corrélation.

On utilise fréquemment des formules alternatives de la fonction de distribution n'utilisant que la fonction sinus ou cosinus

La variante cosinus de la fonction de distribution bivariée de von Mises [5] est donnée par:

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{c}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )-\kappa _{3}\cos(\phi -\mu -\psi +\nu )],}$

où ${\displaystyle \mu }$ et ${\displaystyle \nu }$ sont les moyennes associées à ${\displaystyle \phi }$ et ${\displaystyle \psi }$, ${\displaystyle \kappa _{1}}$ et ${\displaystyle \kappa _{2}}$ leurs concentrations respectives et ${\displaystyle \kappa _{3}}$ est liée à leur corrélation. ${\displaystyle Z_{c}}$ est une constante de normalisation. Cette répartition avec ${\displaystyle \kappa _{3}}$ = 0 a été utilisé pour les estimations du noyau de la densité de la distribution des angles dièdres des protéines[3].

La variante sinus a la fonction de densité de probabilité suivante[6]:

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=Z_{s}(\kappa _{1},\kappa _{2},\kappa _{3})\ \exp[\kappa _{1}\cos(\phi -\mu )+\kappa _{2}\cos(\psi -\nu )+\kappa _{3}\sin(\phi -\mu )\sin(\psi -\nu )],}$

où les paramètres ont la même interprétation que pour la version cosinus.

• Loi de Von Mises, une distribution similaire sur le cercle unité (à une dimension)
• Loi de Kent, une distribution semblable définie sur la sphère unité (à deux dimensions)
• Loi de von Mises-Fisher, une généralisation à n dimensions.
• Statistiques directionnelles