Loi de von Mises

La densité de probabilités de la loi de von Mises pour un angle x est donnée par[2] :

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {{\rm {e}}^{\kappa \cos(x-\mu )}}{2\pi I_{0}(\kappa )}}}$

où I₀(x) est la fonction de Bessel modifiée d'ordre 0.

Les paramètres μ et 1/κ sont analogues aux μ et σ² (moyenne et variance) de la loi normale :

• μ est une mesure de localisation (la distribution est centrée autour de μ),
• κ est une mesure de la concentration (une mesure réciproque de la dispersion statistique).
  • Si κ est nul, la distribution est uniforme.
  • Si κ est très grand, la distribution devient très concentrée autour de μ.

La densité de probabilités peut être exprimée comme une série de fonctions de Bessel[3]

${\displaystyle f(x\mid \mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa )\cos[j(x-\mu )]\right)}$

où I_j(x) est la fonction de Bessel modifiée d'ordre j.

La fonction de répartition n'est pas analytique et est généralement calculée comme intégrale de la série donnée précédemment. L'intégrale indéfinie de la densité de probabilités est :

${\displaystyle \Phi (x\mid \mu ,\kappa )=\int f(t\mid \mu ,\kappa )\,{\rm {d}}t={\frac {1}{2\pi }}\left(x+{\frac {2}{I_{0}(\kappa )}}\sum _{j=1}^{\infty }I_{j}(\kappa ){\frac {\sin[j(x-\mu )]}{j}}\right).}$

Les moments de la loi de von Mises sont habituellement calculés comme les moments de z = e^ix plutôt que de l'angle x. On appelle ces moments « moments circulaires ». La variance calculée à partir de ces moments est également appelée « variance circulaire ». Toutefois, on désigne par la « moyenne » l'argument de la moyenne circulaire, et non la moyenne circulaire elle-même.

Le moment d'ordre n de z est :

${\displaystyle m_{n}=\langle z^{n}\rangle =\int _{\Gamma }z^{n}\,f(x|\mu ,\kappa )\,{\rm {d}}x={\frac {I_{|n|}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}n\mu }}$

où l'intégrale se fait sur tout intervalle Γ de longueur 2π. En calculant cette intégrale, on utilise le fait que zⁿ = cos(nx) + i sin(nx) et l'identité de Bessel[4] :

${\displaystyle I_{n}(\kappa )={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\pi }{\rm {e}}^{\kappa \cos(x)}\cos(nx)\,{\rm {d}}x.}$

La moyenne de z est alors donnée par

${\displaystyle m_{1}={\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\mu }}$

est la valeur « moyenne » de x est ainsi l'argument μ. Il s'agit donc de la direction moyenne de variables aléatoires angulaires. La variance de z, ou variance circulaire de x est :

${\displaystyle {\textrm {Var}}(x)=1-E[\cos(x-\mu )]=1-{\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}.}$

L'entropie de la loi de von Mises est donnée par[2] :

${\displaystyle H=-\int _{\Gamma }f(\theta$ ;\mu ,\kappa )\,\ln(f(\theta ;\mu ,\kappa ))\,{\rm {d}}\theta \,}

où Γ est un intervalle de longueur 2π. Le logarithme de la densité de la loi de von Mises est directement donné par :

${\displaystyle \ln(f(\theta$ ;\mu ,\kappa ))=-\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))+\kappa \cos(\theta ).}

La fonction caractéristique de la loi est donc :

${\displaystyle f(\theta$ ;\mu ,\kappa )={\frac {1}{2\pi }}\left(1+2\sum _{n=1}^{\infty }\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}

avec ${\displaystyle \phi _{n}=I_{|n|}(\kappa )/I_{0}(\kappa )}$. Les calculs donnent alors :

${\displaystyle H=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa \phi _{1}=\ln(2\pi I_{0}(\kappa ))-\kappa {\frac {I_{1}(\kappa )}{I_{0}(\kappa )}}}$

On retrouve, pour κ = 0, que la loi de von Mises est la loi uniforme circulaire (en) et l'entropie devient maximale et vaut ln(2π).

• Loi de von Mises bivariée
• Loi de Kent

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Von Mises distribution » (voir la liste des auteurs).

• (en) Mardia, « Algorithm AS 86: The von Mises Distribution Function », Applied Statistics, vol. 24, 1975, p. 268-272
• (en) Hill, « Algorithm 518, Incomplete Bessel Function I0: The von Mises Distribution », ACM Transactions on Mathematical Software, vol. 3, n° 3, september 1977, p. 279-284
• (en) D. Best et N. Fisher, « Efficient simulation of the von Mises distribution », Applied Statistics, vol. 28, 1979, p. 152-157
• (en) M. Evans, N. Hastings et B. Peacock, « von Mises Distribution », ch. 41 in Statistical Distributions, 3^e éd., New York, Wiley, 2000
• (en) Nicholas I. Fisher, Statistical Analysis of Circular Data, New York, Cambridge, 1993
• (en) M. Evans, N. Hastings et B. Peacock, Statistical Distributions, 2^e éd., John Wiley and Sons, 1993 (ISBN 0-471-55951-2), chap. 39
• (en) Graham Borradaile, Statistics of Earth Science Data : their distribution in time, space, and orientation, Berlin, Springer, 2003, 351 p. (ISBN 978-3-540-43603-4, lire en ligne)