Loi de probabilité de Borel

Une variable aléatoire discrète X suit la loi de probabilité de Borel[1] - [2] de paramètre m ∈ [0,1] si sa fonction de masse est donnée par

${\displaystyle f(k;m)=\mathbb {P} (X=k)={\frac {e^{-mk}(mk)^{k-1}}{k!}}~~~\forall k=1,2,\dots }$

Si un processus de Bienaymé-Galton-Watson a une loi de reproduction Poisson avec moyenne m ∈ [0,1], alors le nombre total d'individus, après extinction, suit une loi de Borel de paramètre m.

Plus précisément, soit X le nombre total d'individus d'un processus de Bienaymé-Galton-Watson de loi de reproduction non-dégénérée, critique ou sous-critique μ. Il existe une correspondance entre X et un certain temps d'arrêt d'une marche aléatoire[3] - [4] - [5] qui donne la relation suivante

${\displaystyle \mathbb {P} (X=k)={\frac {1}{k}}\mathbb {P} (S_{k}=k-1)~~~\forall k=1,2,\dots }$

où S_n = Y₁ + … + Y_k et Y₁ … Y_k sont des variables aléatoires indépendantes identiquement distribuées dont la loi commune est μ. Dans le cas où μ suit une loi de Poisson de paramètre m ∈ [0,1], la variable aléatoire S_k suit une loi de Poisson de paramètre mk ce qui conduit bien à la fonction de masse d'une loi de Borel.

Puisque la n-ième génération d'un processus de Bienaymé-Galton-Watson a une taille moyenne m^{n -1}, la moyenne de X est égale à

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }m^{i}=\left\{{\begin{array}{ll}{\frac {1}{1-m}}&{\text{ si }}m<1,\\+\infty &{\text{ si }}m=1.\end{array}}\right.}$

Dans une file d'attente M / J / 1 avec un taux d'arrivée m et un temps de service commun 1, la distribution d'une période d'occupation typique de la file d'attente suit une loi de Borel de paramètre m[6].

Si P_m désigne la loi de probabilité de Borel de paramètre 0<m<1, alors la loi biaisée par la taille associée est définie par

${\displaystyle P_{m}^{*}(k)=(1-m)kP_{m}(k)=(1-m){\frac {e^{-mk}(mk)^{k-1}}{(k-1)!}}~~~\forall k=1,2,\dots }$

Aldous et Pitman[7] montrent que

${\displaystyle P_{m}(k)={\frac {1}{m}}\int _{0}^{m}P_{\lambda }^{*}(k)\,d\lambda .}$

En d'autres termes, cela signifie qu'une variable aléatoire suivant une loi de Borel(m) a la même distribution qu'une variable aléatoire suivant une loi de Borel(mU) biaisée par la taille, où U est uniformément distribuée sur [0,1].

Cette relation conduit à diverses formules utiles, notamment

${\displaystyle \operatorname {E} \left({\frac {1}{X}}\right)=1-{\frac {m}{2}}.}$

La loi Borel – Tanner généralise la loi Borel. Soit n un entier strictement positif. Si X₁ , X₂ , … X_n sont indépendants et suivent chacune une loi de Borel de paramètre m, alors leur somme W = X₁ + X₂ + … + X_n suit une loi de Borel – Tanner de paramètres m et n[2] - [6] - [8]. Cela correspond au nombre total d'individus dans un processus de Bienaymé-Galton-Watson de loi de reproduction Poisson(m) commençant par n individus à la première génération. Cela correspond aussi au temps nécessaire à une file d'attente M / D / 1 pour se vider en commençant par n emplois dans la file d'attente. Le cas n = 1 correspond simplement à la loi de Borel définie ci-dessus.

On peut généraliser la correspondance discutée précédemment avec une marche aléatoire. Cela donne[4] - [5]

${\displaystyle \mathbb {P} (W=k)={\frac {n}{k}}\Pr(S_{k}=k-n)~~~\forall k=n,n+1,\dots }$

où S_k suit une loi de Poisson(km). Par conséquent, la fonction de masse de W est donnée par

${\displaystyle f(k;m,n)=\mathbb {P} (W=k)={\frac {n}{k}}{\frac {e^{-mk}(mk)^{k-n}}{(k-n)!}}~~~\forall k=n,n+1,\dots }$

• Loi de Borel-Tanner sur Mathematica.