Loi de Voigt

La fonction de répartition de la loi de Voigt est donnée par :

${\displaystyle F(x_{0};\mu ,\sigma )=\int _{-\infty }^{x_{0}}{\frac {\mathrm {Re} (w(z))}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\mathrm {d} x=\mathrm {Re} \left({\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int _{z(-\infty )}^{z(x_{0})}w(z)\,\mathrm {d} z\right)}$

où z est donnée par ${\displaystyle z={\frac {x+\mathrm {i} \gamma }{\sigma {\sqrt {2}}}}}$. Par le calcul de l'intégrale généralisée de la fonction d'erreur complexe grâce à la fonction d'erreur réelle :

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int w(z)\,\mathrm {d} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int \mathrm {e} ^{-z^{2}}\left[1-\mathrm {erf} (-\mathrm {i} z)\right]\,\mathrm {d} z,}$

la fonction de répartition s'écrit alors sous la forme :

${\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )=\mathrm {Re} \left[{\frac {1}{2}}+{\frac {\mathrm {erf} (z)}{2}}+{\frac {\mathrm {i} z^{2}}{\pi }}\,_{2}F_{2}\left(1,1;{\frac {3}{2}},2;-z^{2}\right)\right]}$

où ${\displaystyle \,_{2}F_{2}()}$ est la fonction hypergéométrique.

La fonction lorentzienne ne possède pas de moments, ainsi la loi de Voigt non plus. Cependant elle possède une fonction caractéristique donnée par la formule :

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma )=\mathbb {E} (\mathrm {e} ^{\mathrm {i} xt})=\mathrm {e} ^{-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

La loi de Voigt est la convolée d'une loi normale et d'une loi de Cauchy. Si la loi gaussienne est centrée en μ_G et la loi de Cauchy en μ_L, la convolée sera centrée en μ_G + μ_L et la fonction caractéristique sera alors donnée par la formule :

${\displaystyle \varphi _{f}(t;\sigma ,\gamma ,\mu _{\mathrm {G} },\mu _{\mathrm {L} })=\mathrm {e} ^{\mathrm {i} (\mu _{\mathrm {G} }+\mu _{\mathrm {L} })t-\sigma ^{2}t^{2}/2-\gamma |t|}.}$

Le mode et la médiane valent alors μ_G + μ_L.

• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,0)}$, alors ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma )}$,
• Si ${\displaystyle X\sim \mathrm {Voigt} (0,\gamma )}$, alors ${\displaystyle X\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$,
• Si ${\displaystyle Y\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma )}$ et ${\displaystyle Z\sim \mathrm {Cauchy} (0,\gamma )}$ indépendantes, alors ${\displaystyle X=Y+Z\sim \mathrm {Voigt} (\sigma ,\gamma )}$.

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