Loi de Hotelling

Le problème des marchands de glace est un exemple célèbre de la théorie des jeux, et une approche simplifiée du modèle de Hotelling.

Équilibre

Lorsque les deux marchands sont installés, ils se partagent naturellement la plage en deux zones : la zone d'un marchand est l'ensemble des points de la plage qui sont plus près de lui que de l'autre marchand (notion de diagramme de Voronoï). Il n'est pas difficile de voir que ces zones correspondent à un découpage de la plage par la médiatrice du segment de droite reliant les deux marchands (schéma ci-dessous, à gauche — la médiatrice étant la ligne verticale noire).

Si un des deux marchands a une zone plus petite que l'autre (c'est le cas s'il est plus loin du centre de la plage), il peut accroître sa zone en se déplaçant (schéma ci-dessous, à droite). Il n'y a donc pas équilibre.

Il ne peut donc y avoir équilibre que si les deux zones ont la même taille, c'est-à-dire si les marchands sont tous deux de part et d'autre du milieu de la plage, à égale distance (ci-dessous, gauche). Mais, si l'un des marchands se rapproche alors du milieu de la plage (ci-dessous, droite, le vendeur bleu se déplace vers la gauche), il accroîtra sa zone au détriment de l'autre, qui devra aussi se rapprocher du milieu de la plage pour conserver « sa » moitié de plage.

Par conséquent, les deux marchands se rapprochent spontanément du milieu de la plage, jusqu'à s'y trouver tous les deux (ci-dessous, gauche). Il y a alors équilibre : chaque marchand a une moitié de plage, et s'il se déplace légèrement d'un côté ou de l'autre, il verra sa zone décroître au profit de son concurrent (ci-dessous, droite, le vendeur rouge se déplace vers la gauche). C'est l'équilibre de Nash de ce jeu.

Hotelling prend le cas de deux magasins (A et B) qui se trouvent sur une route rectiligne de longueur ${\displaystyle L}$. A se trouve à ${\displaystyle a}$ kilomètres du début de la route et B se trouve à ${\displaystyle b}$ kilomètres avant la fin de la route :

${\displaystyle \vert --^{a}--A\overbrace {-----} ^{x}-------------------B--^{b}--\vert }$

Le bien vendu est homogène et le prix de revient est de ${\displaystyle u}$ $ par unité. Les consommateurs sont distribués uniformément le long de la route à raison d’un consommateur par kilomètre. Chaque consommateur achète une unité du bien. Son choix du magasin dépend du prix de vente et du coût de transport qui est de ${\displaystyle c}$ $ par kilomètre. Il s’agit donc d’un cas de duopole avec biens différenciés car les frais de transport rendent les deux biens différents.

Si les prix étaient les mêmes, A aurait les consommateurs à gauche (${\displaystyle a}$) et la moitié des consommateurs entre A et B. Dans le cas général, la répartition des consommateurs dépendra des prix fixés par A et B.

Soit ${\displaystyle x}$ la distance entre A et un consommateur qui se trouve entre A et B (voir graphique). Si ${\displaystyle d}$ est la distance entre A et B, le consommateur est indifférent entre aller chez A ou chez B lorsque :

${\displaystyle p_{A}+cx=p_{B}+c(L-x-a-b)}$

où ${\displaystyle p_{A}}$ et ${\displaystyle p_{B}}$ sont les prix de vente respectifs pratiqués par les deux magasins et ${\displaystyle \vert p_{B}-p_{A}\vert \leq c(L-a-b)}$.

On obtient :

${\displaystyle x={\frac {p_{B}-p_{A}}{2c}}+0.5(L-a-b)}$

Les profits des deux magasins sont alors :

${\displaystyle \Pi _{A}=(a+x)(p_{A}-u)\quad$ ;\quad \Pi _{B}=(L-x-a)(p_{B}-u)}

L’équilibre de Cournot-Nash est obtenu en utilisant les deux courbes de réaction (ou de meilleure réponse) :

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{A}}{\partial p_{A}}}=0\to p_{A}=0.5[p_{B}+u+c(L+a-b)]}$

${\displaystyle {\frac {\partial \Pi _{B}}{\partial p_{B}}}=0\to p_{B}=0.5[p_{A}+u+c(L+b-a)]}$

Le point de rencontre de ces deux courbes donne la solution (Hotelling suppose que ${\displaystyle u=0}$, comme Cournot avec l’eau minérale):

${\displaystyle p_{A}=u+c[L+{\frac {1}{3}}(a-b)]}$

${\displaystyle p_{B}=u+c[L-{\frac {1}{3}}(a-b)]}$

Hotelling constate que le profit de A augmente s’il se rapproche de B (c’est-à-dire lorsque a augmente). Les deux entreprises ont alors intérêt à se rapprocher.

Il ne faut pas que les deux magasins soient trop proches l’un de l’autre car alors on est dans le cas du modèle de Bertrand avec un prix d’équilibre égal au coût unitaire et un profit nul. Si ${\displaystyle a=b}$ et ${\displaystyle L>2a}$, alors A ne peut pas dépasser le premier quart de la route. Si, comme dans l’exemple de Hotelling, ${\displaystyle b=1}$ et ${\displaystyle L=35}$, alors A peut aller jusqu’à environ 10 km. Il ne doit pas aller jusqu’au milieu de la route.

Si les coûts de transport sont quadratiques, A a intérêt à s’éloigner de B (différenciation des produits).

Ce phénomène est observé sur de nombreux marchés, en particulier sur ceux des marchandises (par opposition aux services) et a pour conséquence une diminution de la variété des choix disponibles pour le consommateur.

Hotelling suggère que ce résultat peut expliquer aussi la standardisation des produits ou des programmes des partis politiques aux États-Unis (différence entre Républicains et Démocrates) ; cette application est connue comme le théorème de l'électeur médian.

Dans les faits, les entreprises sont soumises à la fois à la loi de Hotelling et au principe opposé de différenciation des produits. Ainsi, une nouvelle compagnie d'aviation fera sa promotion en insistant sur ce qui la différencie de la concurrence : trajets moins onéreux, places plus confortables, etc. Mais elle adoptera également une politique très proche de celle de ses concurrents : services et grilles horaires similaires.

En théorie des jeux, le modèle de Hotelling est un cas d'équilibre de Nash non-optimal. En termes plus économiques, cela signifie qu'une concertation entre acteurs économiques (ou une régulation externe, par exemple étatique) peut être préférable pour tous à une situation où chaque acteur cherche à optimiser son propre profit, ce qui contredit le principe de la main invisible.

En économie géographique, il s'agit d'une première approche pour les problèmes de différenciation spatiale. Le modèle de Hotelling aussi appelé modèle de la ville linéaire est étendu par le modèle de Salop dit de la « ville circulaire » qui considère non plus une droite, mais un cercle-unité. Alors que la droite permet de modéliser une autoroute, le cercle modélise plus facilement une ville autour d'un lac ou une périphérie urbaine.

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Problème des marchands de glaces » (voir la liste des auteurs).

• (en) Harold Hotelling, « Stability in Competition », The Economic Journal, vol. xxxix,‎ 1929, p. 41-57
• (en) C. d'Aspremont, J.J. Gabszewicz et J.F. Thisse, « On Hotelling's 'Stability in Competition' », Econometrica,‎ 1979, p. 1145-1150