Loi bêta-binomiale négative

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta-binomiale négative est la loi de probabilité discrète d'une variable aléatoire X égale au nombre d'échecs nécessaires pour obtenir n succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli où la probabilité p du succès est une variable aléatoire de loi bêta. La loi est alors une loi mélangée.

Loi Bêta-binomiale négative



Paramètres	$\alpha >0$ , paramètre de forme $\beta >0$ , paramètre de forme $n\in \mathbb {N}$
Support	$k\in \{0,1,2,3,\dots \}$
Fonction de masse	${\frac {n^{(k)}\alpha ^{(n)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(n)}(n+\alpha +\beta )^{(k)}}}$ où $x^{(n)}$ est le symbole de Pochhammer croissant
Espérance	${\begin{cases}{\frac {n\beta }{\alpha -1}}&{\text{si}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}$
Variance	${\begin{cases}{\frac {n(\alpha +n-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{si}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}$
Asymétrie	${\begin{cases}{\frac {(\alpha +2n-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {n(\alpha +n-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{si}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}$

Cette loi a également été appelée la loi inverse Markov-Pólya et la loi de Waring généralisée[1]. Une version avec dérive de cette loi a été appelée la loi bêta-Pascal[1].

Si les paramètres de la loi bêta sont $\alpha$ et $\beta$ , et si

X\mid p\sim \mathrm {NB} (n,p),

où

p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),

alors la loi marginale de X est la loi bêta-binomiale négative :

X\sim \mathrm {BNB} (n,\alpha ,\beta ).

Dans les notations ci-dessus, $\mathrm {NB} (n,p)$ est la loi bêta-binomiale et ${\textrm {B}}(\alpha ,\beta )$ est la loi bêta.

Références

Johnson et al. (1993)

Jonhnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley (ISBN 0-471-54897-9) (Section 6.2.3)
Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211
Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 DOI 10.1016/j.jspi.2010.09.020

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