Limite de Betz

• Ecoulement monodimensionnel par section, stationnaire d'un fluide parfait homogène
• On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen.

${\displaystyle \rho }$ : masse volumique du fluide

S : surface du capteur éolien

pour toutes les variables suivantes, l'indice ${\displaystyle _{1}}$ correspond à l'entrée du capteur et l'indice ${\displaystyle _{2}}$ correspond à la sortie

${\displaystyle s}$ : section occupée par le flux d'air capté (variable, voir plus bas)

${\displaystyle p}$ : pression

${\displaystyle v}$ : vitesse de l'air

Dm : débit massique d'air, ${\displaystyle Dm=\rho sv}$

${\displaystyle F}$ : force exercée par l'air sur le capteur

${\displaystyle P}$ : puissance développée par la force exercée.

Dans le cas examiné, le débit masse est constant : ${\displaystyle D_{m}=\rho sv=cste}$[1].

Considérons quatre points sur une même ligne de courant : un point en amont (sur ${\displaystyle s_{1}}$), un point "juste avant" le capteur proprement dit, un autre "juste après", et un dernier en aval (sur ${\displaystyle s_{2}}$) :

Aux deux points loin du capteur, sur ${\displaystyle s_{1}}$ et ${\displaystyle s_{2}}$, la pression est égale à la pression atmosphérique ${\displaystyle p_{0}}$

Aux deux points proches du capteur, la section est égale à la surface S, et comme le débit masse est constant, la vitesse du vent est la même en ces deux points : ${\displaystyle v}$. En revanche, il y a une discontinuité de pression entre ces deux points.

L'écoulement est supposé parfait et stationnaire, tout comme le fluide est supposé incompressible (masse volumique constante) ; l'effet du champ de pesanteur est nul (l'air capté flotte dans l'air "autour", du fait que la poussée d'Archimède équilibre exactement le poids de l'air, dont un éventuel travail - même en supposant une variation d'altitude - est ainsi annulé). On applique le théorème de Bernoulli deux fois, d'une part entre l'amont et le point juste avant le capteur, d'autre part entre le point juste après le capteur et l'aval ; on a donc :

(1) : ${\displaystyle {\frac {p_{0}}{\rho }}+{\frac {v_{1}^{2}}{2}}={\frac {p_{1}}{\rho }}+{\frac {v^{2}}{2}}}$

et

(2) : ${\displaystyle {\frac {p_{0}}{\rho }}+{\frac {v_{2}^{2}}{2}}={\frac {p_{2}}{\rho }}+{\frac {v^{2}}{2}}}$

La soustraction (1) - (2) donne

(3) : ${\displaystyle p_{1}-p_{2}={\frac {\rho }{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})}$

La force exercée par le vent sur le capteur est

(4) : ${\displaystyle F=(p_{1}-p_{2})S={\frac {\rho }{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})S=\rho S{\frac {(v_{1}+v_{2})}{2}}(v_{1}-v_{2})}$

Mais cette force peut aussi s'exprimer par application de la loi de Newton :

(5) : ${\displaystyle {\begin{aligned}F&=m\cdot a\\&=m\cdot {\tfrac {dv}{dt}}\\&=D_{m}\cdot \Delta v\\&=\rho \cdot S\cdot v\cdot \left(v_{1}-v_{2}\right)\\\end{aligned}}}$

L'égalité des deux expressions (4) et (5) impose que ${\displaystyle v={\frac {(v_{1}+v_{2})}{2}}}$et la puissance développée par cette force sur les pales est

(6) : ${\displaystyle P=Fv={\frac {\rho }{2}}(v_{1}^{2}-v_{2}^{2})Sv}$ ;

Si on exprime cette puissance en fonction de ${\displaystyle x={\frac {v_{2}}{v_{1}}}}$, du rendement r, et de ${\displaystyle P_{0}}$ la puissance incidente du vent non perturbé :

${\displaystyle P_{0}={\frac {1}{2}}\rho Sv_{1}^{3}}$

on obtient

${\displaystyle v=v_{1}{\frac {1+x}{2}}}$

et

${\displaystyle r={\frac {P}{P_{0}}}={\frac {1}{2}}(1-x^{2})(1+x)}$

On peut alors tracer le rendement r de l'éolienne en fonction de x :

Le maximum[2] est atteint pour x=1/3, et alors r=16/27. D'où la limite de Betz :

${\displaystyle P_{\mathrm {extraite} }^{\max }\,\,=\,\,{\frac {16}{27}}\,P_{\mathrm {incidente} }}$