Lemme de transport

Soient ${\displaystyle X}$ et ${\displaystyle Y}$ deux ensembles, ${\displaystyle f:\;X\to Y}$ une application et ${\displaystyle {\mathcal {E}}\subset {\mathcal {P}}\left(Y\right)}$ un ensemble de parties de ${\displaystyle Y}$, on a alors[1] - [2] ${\displaystyle f^{-1}\left(\sigma \left({\mathcal {E}}\right)\right)=\sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {E}}\right)\right)}$.

Une application classique du lemme de transport est de montrer qu'une application continue est borélienne.

En effet si ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ et ${\displaystyle (Y,{\mathcal {U}})}$ sont des espaces topologiques, ${\displaystyle f:(X,\sigma ({\mathcal {O}}))\to (Y,\sigma ({\mathcal {U}}))}$ est borélienne si et seulement si ${\displaystyle f^{-1}(\sigma ({\mathcal {U}}))\subset \sigma \left({\mathcal {O}}\right)}$ ; or d'après le lemme de transport ${\displaystyle f^{-1}\left(\sigma \left({\mathcal {U}}\right)\right)=\sigma \left(f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right)\right)}$. Si on suppose que ${\displaystyle f}$ est continue alors ${\displaystyle f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right)\subset {\mathcal {O}}}$, et on a bien ${\displaystyle \sigma (f^{-1}\left({\mathcal {U}}\right))\subset \sigma ({\mathcal {O}})}$ donc ${\displaystyle f^{-1}(\sigma ({\mathcal {U}}))\subset \sigma \left({\mathcal {O}}\right)}$.

Plus généralement le lemme de transport dit que si ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ et ${\displaystyle (Y,{\mathcal {B}})}$ sont des espaces mesurables et si ${\displaystyle {\mathcal {C}}\subset {\mathcal {P}}(Y)}$ tel que ${\displaystyle \sigma ({\mathcal {C}})={\mathcal {B}}}$ alors ${\displaystyle f:(X,{\mathcal {A}})\to (Y,{\mathcal {B}})}$ est mesurable si et seulement si ${\displaystyle f^{-1}({\mathcal {C}})\subset {\mathcal {A}}}$ ce qui n'est pas anodin et peut simplifier considérablement la caractérisation des applications ${\displaystyle ({\mathcal {A}},{\mathcal {B}})}$-mesurables.