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Lemme de regroupement

En théorie des probabilités et en théorie de la mesure, le lemme de regroupement[1], également appelé lemme des coalitions[2] ou indépendance par paquets[3], est un résultat portant sur l'indépendance de variables aléatoires ou plus généralement de tribus.

Le lemme de regroupement est d'usage constant en probabilités. Citons quelques exemples :

ÉnoncĂ© pour les variables alĂ©atoires

Soit un entier, soient des variables alĂ©atoires mutuellement indĂ©pendantes toutes dĂ©finies sur un mĂȘme espace de probabilitĂ©, soit et soient et deux fonctions mesurables. Alors les variables alĂ©atoires et sont indĂ©pendantes.

On a ici considĂ©rĂ© deux « groupes » (ou « coalitions », ou « paquets ») de variables alĂ©atoires, d'oĂč le nom lemme de regroupement (ou lemme des coalitions, ou indĂ©pendance par paquets).

Cela se généralise à un nombre quelconque de coalitions : par exemple si sont indépendantes, alors , et sont indépendantes.

Un autre exemple notamment utile pour l'étude de sommes de variables aléatoires : si sont mutuellement indépendantes, alors et sont indépendantes.

ÉnoncĂ© pour les tribus

Soit un entier, soient des tribus mutuellement indĂ©pendantes toutes incluses dans une mĂȘme tribu et soit . Alors la tribu engendrĂ©e par et la tribu engendrĂ©e par sont indĂ©pendantes.

On peut gĂ©nĂ©raliser cela : soit une famille de tribus mutuellement indĂ©pendantes toutes incluses dans une mĂȘme tribu et soit une partition de . Posons, pour tout , la tribu engendrĂ©e par les pour . Alors les pour sont mutuellement indĂ©pendantes.

Références

  1. Bernhard Elsner, Voyage au pays des probas : Cours et exercices corrigés, Ellipses, (ISBN 9782340054868)
  2. Walter Appel, Probabilités pour les non-probabilistes, H&K, (ISBN 978-2-35141-326-5)
  3. Francesco Caravenna, Paolo Dai Pra et Quentin Berger, Introduction aux probabilités : ModÚles et applications, Dunod, (ISBN 9782100833689)
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