Lemme de regroupement
En théorie des probabilités et en théorie de la mesure, le lemme de regroupement[1], également appelé lemme des coalitions[2] ou indépendance par paquets[3], est un résultat portant sur l'indépendance de variables aléatoires ou plus généralement de tribus.
Le lemme de regroupement est d'usage constant en probabilités. Citons quelques exemples :
- l'inégalité de Kolmogorov ;
- la propriété de Markov pour les processus de Galton-Watson ;
- le principe de Maurey, ou méthode des différences bornées.
ĂnoncĂ© pour les variables alĂ©atoires
Soit un entier, soient des variables alĂ©atoires mutuellement indĂ©pendantes toutes dĂ©finies sur un mĂȘme espace de probabilitĂ©, soit et soient et deux fonctions mesurables. Alors les variables alĂ©atoires et sont indĂ©pendantes.
On a ici considĂ©rĂ© deux « groupes » (ou « coalitions », ou « paquets ») de variables alĂ©atoires, d'oĂč le nom lemme de regroupement (ou lemme des coalitions, ou indĂ©pendance par paquets).
Cela se généralise à un nombre quelconque de coalitions : par exemple si sont indépendantes, alors , et sont indépendantes.
Un autre exemple notamment utile pour l'étude de sommes de variables aléatoires : si sont mutuellement indépendantes, alors et sont indépendantes.
ĂnoncĂ© pour les tribus
Soit un entier, soient des tribus mutuellement indĂ©pendantes toutes incluses dans une mĂȘme tribu et soit . Alors la tribu engendrĂ©e par et la tribu engendrĂ©e par sont indĂ©pendantes.
On peut gĂ©nĂ©raliser cela : soit une famille de tribus mutuellement indĂ©pendantes toutes incluses dans une mĂȘme tribu et soit une partition de . Posons, pour tout , la tribu engendrĂ©e par les pour . Alors les pour sont mutuellement indĂ©pendantes.
Références
- Bernhard Elsner, Voyage au pays des probas : Cours et exercices corrigés, Ellipses, (ISBN 9782340054868)
- Walter Appel, Probabilités pour les non-probabilistes, H&K, (ISBN 978-2-35141-326-5)
- Francesco Caravenna, Paolo Dai Pra et Quentin Berger, Introduction aux probabilités : ModÚles et applications, Dunod, (ISBN 9782100833689)