Inégalité de Kolmogorov

Si ${\displaystyle \textstyle \sum _{n\geq 1}{\text{Var}}\left(Y_{n}\right)=+\infty }$, l'inégalité est vérifiée. Dans la suite, on suppose que

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\text{Var}}\left(Y_{n}\right)<+\infty .}$

On pose

${\displaystyle \sigma =\left\{{\begin{array}{lll}+\infty &\ \ &{\text{si }}\left\{k\geq 1\ |\ \left|W_{k}\right|>x\right\}=\emptyset ,\\&&\\\inf \left\{k\geq 1\ |\ \left|W_{k}\right|>x\right\}&\ \ &{\text{sinon.}}\end{array}}\right.}$

On remarque alors que, pour ${\displaystyle \textstyle k\leq n}$,

${\displaystyle W_{k}1_{\sigma =k}\ \bot \ W_{n}-W_{k}.}$

En effet ${\displaystyle \textstyle W_{n}-W_{k}=Y_{k+1}+Y_{k+2}+\dots +Y_{n}}$, alors que

${\displaystyle {\begin{aligned}\left\{\sigma =k\right\}&=\left\{\left|W_{1}\right|\leq x,\left|W_{2}\right|\leq x,\dots ,\left|W_{k-1}\right|\leq x{\text{ et }}\left|W_{k}\right|>x\right\}\\&=\left\{\left|Y_{1}\right|\leq x,\ \left|Y_{1}+Y_{2}\right|\leq x,\ \dots ,\ \left|Y_{1}+\dots +Y_{k-1}\right|\leq x{\text{ et }}\left|Y_{1}+\dots +Y_{k}\right|>x\right\}.\end{aligned}}}$

Ainsi pour deux boréliens quelconques ${\displaystyle \textstyle A}$ et ${\displaystyle \textstyle B}$, les deux évènements

${\displaystyle \left\{W_{k}1_{\sigma =k}\in A\right\}{\text{ et }}\left\{W_{n}-W_{k}\in B\right\}}$

appartiennent aux tribus ${\displaystyle \textstyle \sigma \left(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{k}\right)}$ et ${\displaystyle \textstyle \sigma \left(Y_{k+1},Y_{k+2},\dots ,Y_{n}\right)}$, respectivement. Ils sont donc indépendants en vertu du lemme de regroupement, ce qui implique bien ${\displaystyle \ \textstyle W_{k}1_{\sigma =k}\ \bot \ W_{n}-W_{k}}$. On a

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}\,{\text{Var}}\left(Y_{k}\right)&={\text{Var}}\left(W_{n}\right)\ =\ \mathbb {E} \left[W_{n}^{2}\right]\\&\geq \mathbb {E} \left[W_{n}^{2}1_{\sigma <+\infty }\right]\\&=\sum _{k\geq 1}\ \mathbb {E} \left[W_{n}^{2}\ 1_{\sigma =k}\right]\\&\geq \sum _{k=1}^{n}\ \mathbb {E} \left[W_{n}^{2}1_{\sigma =k}\right]\\&=\sum _{k=1}^{n}\ \mathbb {E} \left[\left(W_{n}-W_{k}+W_{k}\right)^{2}1_{\sigma =k}\right]\\&\geq \sum _{k=1}^{n}\ \mathbb {E} \left[W_{k}^{2}1_{\sigma =k}\right]+2\mathbb {E} \left[W_{n}-W_{k}\right]\mathbb {E} \left[W_{k}1_{\sigma =k}\right]\\&=\sum _{k=1}^{n}\ \mathbb {E} \left[W_{k}^{2}1_{\sigma =k}\right]\\&\geq \sum _{k=1}^{n}\ \mathbb {E} \left[x^{2}1_{\sigma =k}\right]\\&=x^{2}\mathbb {P} \left(\sigma \leq n\right),\end{aligned}}}$

où la troisième inégalité s'obtient en développant le carré en deux termes carrés (dont l'un est supprimé pour minorer l'expression précédente) et un double produit (de deux variables indépendantes, en vertu de ${\displaystyle \ \textstyle W_{k}1_{\sigma =k}\ \bot \ W_{n}-W_{k}}$). L'égalité suivante tient à ce que ${\displaystyle \textstyle W_{n}-W_{k}}$ est centrée (comme somme de v.a. centrées), et la dernière inégalité découle de la définition du temps d'arrêt ${\displaystyle \textstyle \sigma }$ : par définition, au temps ${\displaystyle \textstyle \sigma }$, on a ${\displaystyle \textstyle W_{\sigma }>x}$. En faisant tendre ${\displaystyle \textstyle n}$ vers l'infini on obtient

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k\geq 1}\,{\text{Var}}\left(Y_{k}\right)&\geq x^{2}\ \mathbb {P} \left(\sigma <+\infty \right),\\&=x^{2}\ \mathbb {P} \left(\left\{k\geq 1\ |\ \left|W_{k}\right|>x\right\}\neq \emptyset \right),\\&=x^{2}\ \mathbb {P} \left(\sup \left\{\left|W_{n}\right|\,|\,n\geq 1\right\}>x\right),\end{aligned}}}$

C.Q.F.D.