Lemme de Poincaré-Volterra

Soit ${\displaystyle f:X\to Y}$ une application continue entre deux espaces topologiques séparés. On suppose que ${\displaystyle X}$ est connexe et que ${\displaystyle Y}$ est à base dénombrable.

On suppose de plus que l'une des conditions suivantes est vérifiée :

• ${\displaystyle f}$ est un homéomorphisme local, à savoir : pour tout ${\displaystyle x\in X}$ il existe un voisinage ouvert ${\displaystyle U_{x}}$ tel que la restriction ${\displaystyle f_{|U_{x}}}$ soit un homéomorphisme sur son image ouverte ;
• ${\displaystyle X}$ est une variété topologique (pas nécessairement à base dénombrable, a priori) et ${\displaystyle f}$ est discrète, c'est-à-dire que pour tout ${\displaystyle y\in Y}$ l'image réciproque ${\displaystyle f^{-1}(\{y\})}$ est un sous-ensemble discret de ${\displaystyle X}$.

Alors, ${\displaystyle X}$ est également à base dénombrable.

La démonstration qui suit est celle d'Otto Forster[2].

Notons ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ une base d'ouverts de ${\displaystyle Y}$. Soit ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ la collection de tous les sous-ensembles ouverts ${\displaystyle V}$ de ${\displaystyle X}$ ayant les propriétés suivantes :

• ${\displaystyle V}$ est à base dénombrable ;
• ${\displaystyle V}$ est une composante connexe d'un ensemble ${\displaystyle f^{-1}(U)}$ avec ${\displaystyle U\in {\mathfrak {B}}}$.

1. On affirme premièrement que ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ est une base d'ouverts de ${\displaystyle X}$. Soit ${\displaystyle x\in X}$ et ${\displaystyle W}$ un ouvert de ${\displaystyle X}$ contenant ${\displaystyle x}$. On veut montrer qu'il existe un ouvert ${\displaystyle V}$ contenant ${\displaystyle x}$ , contenu dans ${\displaystyle W}$ et qui soit dans ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$. Premier cas : Si on suppose que ${\displaystyle f}$ est un homéomorphisme local, on sait qu'il existe un voisinage ouvert ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle f_{|D}}$ soit un homéomorphisme sur son image. Il suffit alors de prendre ${\displaystyle V=W\cap D}$. Deuxième cas : Si ${\displaystyle X}$ est une variété topologique et ${\displaystyle f}$ est discrète, il existe un voisinage relativement compact ${\displaystyle D}$ de ${\displaystyle x}$ tel que ${\displaystyle \partial D}$ ne rencontre pas la fibre ${\displaystyle f^{-1}(f(x))}$ . Ainsi ${\displaystyle f(\partial D)}$ est compact et ne contient pas ${\displaystyle f(x)}$ . Par conséquent, il existe ${\displaystyle U\in {\mathfrak {B}}}$ avec ${\displaystyle f(x)\in U}$ et ${\displaystyle U\cap f(\partial W)=\varnothing }$. Soit ${\displaystyle V}$ la composante connexe de ${\displaystyle f^{-1}(U)}$qui contient ${\displaystyle x}$. Comme ${\displaystyle V\cap f(\partial W)=\varnothing }$, il s'ensuit que ${\displaystyle V\subset W}$ et donc que ${\displaystyle V}$ a une base dénombrable car ${\displaystyle W}$ est relativement compact. Ainsi ${\displaystyle V\in {\mathfrak {C}}.}$

1. On remarque ensuite que pour tout ${\displaystyle V_{0}}$ dans ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$, il existe un nombre au plus dénombrable d'ouverts ${\displaystyle V\in {\mathfrak {C}}}$ tels que ${\displaystyle V\cap V_{0}}$ soit non vide. Ceci provient du fait que ${\displaystyle {\mathfrak {B}}}$ est dénombrable et que ${\displaystyle V_{0}}$ est à base dénombrable d'ouverts.
2. On peut enfin montrer que ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ est dénombrable. Fixons ${\displaystyle V_{0}}$ dans ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ et pour tout ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$, définissons ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{n}}$ comme l'ensemble des ${\displaystyle V\in {\mathfrak {C}}}$ tels qu'il existe ${\displaystyle V_{1},...,V_{n}\in {\mathfrak {C}}}$ vérifiant${\textstyle V_{n}=V{\text{ et }}V_{k}\cap V_{k-1}\neq \varnothing {\text{ pour tout }}k=1,...,n.}$ Comme ${\displaystyle X}$ est connexe, ${\displaystyle \cup _{n\in \mathbb {N} }{\mathfrak {C}}_{n}={\mathfrak {C}}.}$ Il suffit alors de montrer que chaque ${\displaystyle {\mathfrak {C}}_{n}}$ est dénombrable. Ceci se montre par récurrence à l'aide de 2.

Le lemme de Poincaré-Volterra s'est avéré être une aide essentielle pour la preuve du théorème de Radó sur les surfaces de Riemann. Une autre conséquence notable de ce lemme est l'affirmation suivante [3]:

Si ${\displaystyle p:X\to Y}$ est un revêtement entre deux espaces topologiques, que ${\displaystyle X}$ est connexe et ${\displaystyle Y}$ est à base dénombrable, alors la fibre ${\displaystyle p^{-1}(\{y\})}$ en un point ${\displaystyle y}$ de ${\displaystyle Y}$ est discrète et au plus dénombrable.