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Lemme de Poincaré-Volterra

Le lemme de Poincaré-Volterra est un théorème de topologie, une branche des mathématiques. Il est attribué aux mathématiciens Henri Poincaré et Vito Volterra, qui l'ont formulé et prouvé dans ses premières versions dans les années 1880[1]. Le théorème formule une condition suffisante pour la transmission de certaines propriétés topologiques par des applications continues et discrètes. Il est crucial dans la preuve du théorème de Radó[2], qui affirme que toute surface de Riemann connexe est à base dénombrable d'ouverts.

Enoncé

Soit une application continue entre deux espaces topologiques séparés. On suppose que est connexe et que est à base dénombrable.

On suppose de plus que l'une des conditions suivantes est vérifiée :

  • est un homéomorphisme local, à savoir : pour tout il existe un voisinage ouvert tel que la restriction soit un homéomorphisme sur son image ouverte ;
  • est une variété topologique (pas nécessairement à base dénombrable, a priori) et est discrète, c'est-à-dire que pour tout l'image réciproque est un sous-ensemble discret de .

Alors, est également à base dénombrable.

Démonstration

La démonstration qui suit est celle d'Otto Forster[2].

Notons une base d'ouverts de . Soit la collection de tous les sous-ensembles ouverts de ayant les propriétés suivantes :

  • est à base dénombrable ;
  • est une composante connexe d'un ensemble avec .
  1. On affirme premièrement que est une base d'ouverts de . Soit et un ouvert de contenant . On veut montrer qu'il existe un ouvert contenant , contenu dans et qui soit dans . Premier cas : Si on suppose que est un homéomorphisme local, on sait qu'il existe un voisinage ouvert de tel que soit un homéomorphisme sur son image. Il suffit alors de prendre . Deuxième cas : Si est une variété topologique et est discrète, il existe un voisinage relativement compact de tel que ne rencontre pas la fibre . Ainsi est compact et ne contient pas . Par conséquent, il existe avec et . Soit la composante connexe de qui contient . Comme , il s'ensuit que et donc que a une base dénombrable car est relativement compact. Ainsi
  1. On remarque ensuite que pour tout dans , il existe un nombre au plus dénombrable d'ouverts tels que soit non vide. Ceci provient du fait que est dénombrable et que est à base dénombrable d'ouverts.
  2. On peut enfin montrer que est dénombrable. Fixons dans et pour tout , définissons comme l'ensemble des tels qu'il existe vérifiant Comme est connexe, Il suffit alors de montrer que chaque est dénombrable. Ceci se montre par récurrence à l'aide de 2.

Résultats associés

Le lemme de Poincaré-Volterra s'est avéré être une aide essentielle pour la preuve du théorème de Radó sur les surfaces de Riemann. Une autre conséquence notable de ce lemme est l'affirmation suivante [3]:

Si est un revêtement entre deux espaces topologiques, que est connexe et est à base dénombrable, alors la fibre en un point de est discrète et au plus dénombrable.

Notes et références

  1. (en) « The Poincaré-Volterra theorem: a significant event in the history of the theory of analytic functions », Historia Mathematica, vol. 11, no 2,‎ , p. 161–192 (ISSN 0315-0860, DOI 10.1016/S0315-0860(84)80007-5, lire en ligne, consulté le )
  2. (en) Otto Forster, Lectures on Riemann Surfaces, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics », (ISBN 978-0-387-90617-1, lire en ligne)
  3. « Les revêtements - Analysis Situs », sur analysis-situs.math.cnrs.fr (consulté le )
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