Lemme de Neyman-Pearson
En statistique , selon le lemme de Neyman-Pearson , lorsque l'on veut effectuer un test d'hypothèse entre deux hypothèses H 0 : θ = θ 0 et H 1 : θ = θ 1 , pour un échantillon
x
=
(
X
1
,
…
,
X
n
)
{\displaystyle \mathbf {x} =(X_{1},\ldots ,X_{n})}
vraisemblance , qui rejette H 0 en faveur de H 1 lorsque
L
(
x
,
θ
0
)
L
(
x
,
θ
1
)
≤
k
α
{\displaystyle {\frac {{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\theta _{0})}{{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\theta _{1})}}\leq k_{\alpha }}
k
α
{\displaystyle k_{\alpha }}
P
(
L
(
x
,
θ
0
)
L
(
x
,
θ
1
)
≤
k
α
|
H
0
)
=
α
{\displaystyle P\left({\frac {{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{0})}{{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{1})}}\leq k_{\alpha }{\bigg |}H_{0}\right)=\alpha }
puissant de niveau
α
{\displaystyle \alpha }
Type Inventeurs Nommé en référence à Formule
Λ
(
x
)
=
L
(
x
∣
θ
0
)
L
(
x
∣
θ
1
)
≤
η
{\displaystyle \Lambda (x)={\frac {L(x\mid \theta _{0})}{L(x\mid \theta _{1})}}\leq \eta }
Ce lemme est nommé d'après Jerzy Neyman et Egon Sharpe Pearson dans un article publié en 1933[1]
En pratique, la plupart du temps, le rapport de vraisemblance lui-même n'est pas explicitement utilisé dans le test. En effet, le test du rapport de vraisemblance ci-dessus est souvent équivalent à un test de la forme
T
≤
t
α
{\displaystyle T\leq t_{\alpha }}
T
{\displaystyle T}
Démonstration Théorème : La région de rejet
R
0
{\displaystyle R_{0}}
x
=
(
x
1
,
…
,
x
n
)
∈
R
n
{\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}}
L
(
x
,
θ
0
)
L
(
x
,
θ
1
)
≤
k
α
{\displaystyle {\frac {{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{0})}{{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{1})}}\leq k_{\alpha }}
où la constante
k
α
{\displaystyle k_{\alpha }}
P
(
x
∈
R
0
|
θ
0
)
=
α
{\displaystyle P(\mathbf {x} \in R_{0}|\theta _{0})=\alpha }
P
(
D
n
∈
R
0
|
θ
0
)
=
α
=
∫
R
0
L
(
x
;
θ
0
)
d
x
{\displaystyle P\left({\textbf {D}}_{n}\in R_{0}|\theta _{0}\right)=\alpha =\int _{R_{0}}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{0})\ d\mathbf {x} }
P
(
D
n
∈
R
0
|
θ
1
)
=
1
−
β
=
∫
R
0
L
(
x
;
θ
1
)
d
x
{\displaystyle P\left({\textbf {D}}_{n}\in R_{0}|\theta _{1}\right)=1-\beta =\int _{R_{0}}\!{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ;\theta _{1})\ d\mathbf {x} }
D
n
=
(
x
1
′
,
…
,
x
n
′
)
{\displaystyle D_{n}=(x'_{1},\ldots ,x'_{n})}
Démonstration :
Montrons tout d'abord que lorsque
f
X
(
.
;
θ
)
{\displaystyle f_{\mathcal {X}}(.;\theta )}
k
{\displaystyle k}
P
(
L
(
x
,
θ
0
)
L
(
x
,
θ
1
)
>
k
|
H
0
)
=
α
{\displaystyle P\left({\frac {{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{0})}{{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{1})}}>k{\bigg |}H_{0}\right)=\alpha }
En effet, lorsque
k
=
0
{\displaystyle k=0}
k
→
∞
{\displaystyle k\rightarrow \infty }
k
{\displaystyle k}
k
α
{\displaystyle k_{\alpha }}
∀
α
∈
]
0
;
1
[
{\displaystyle \forall \alpha \in ]0;1[}
Désignons alors par
R
0
{\displaystyle R_{0}}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
R
0
≜
{
x
∈
R
n
|
L
(
x
,
θ
0
)
L
(
x
,
θ
1
)
>
k
α
}
{\displaystyle R_{0}\triangleq \lbrace \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}{\bigg |}{\frac {{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{0})}{{\mathcal {L}}({\textbf {x}},\theta _{1})}}>k_{\alpha }\rbrace }
et soit
R
{\displaystyle R}
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
P
(
x
∈
R
|
θ
0
)
=
α
{\displaystyle P(\mathbf {x} \in R|\theta _{0})=\alpha }
P
(
x
∈
R
0
|
θ
1
)
>
P
(
x
∈
R
|
θ
1
)
{\displaystyle P(\mathbf {x} \in R_{0}|\theta _{1})>P(\mathbf {x} \in R|\theta _{1})}
Notes et références (en) J. Neyman et E. S. Pearson , « IX. On the problem of the most efficient tests of statistical hypotheses » , Phil. Trans. R. Soc. Lond. A vol. 231, nos 694-706,‎ 16 février 1933 , p. 289–337 (ISSN 0264-3952 DOI 10.1098/rsta.1933.0009 lire en ligne )
Liens externes
Voir aussi
Cet article est issu de
wikipedia . Text licence:
CC BY-SA 4.0 , Des conditions supplémentaires peuvent s’appliquer aux fichiers multimédias.
![{\displaystyle \forall \alpha \in ]0;1[}](https://img.franco.wiki/i/dc11330641366530a521c0d0fc2c2cac59212704.svg)
