Lemme de Mazur

Dans un espace vectoriel normé X, soit (x_n)_n∈ℕ une suite convergeant faiblement vers un vecteur x de X, c'est-à-dire que pour toute forme linéaire continue f sur X,

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }f(x_{n})=f(x).}$

Alors il existe une suite (y_n)_n∈ℕ à valeurs dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des valeurs de la suite (x_n)_n∈ℕ, et même[4] telle que pour tout entier n, le terme y_n soit de la forme

${\displaystyle y_{n}=\sum _{k=n}^{N_{n}}\lambda _{n,k}x_{k}{\text{ avec }}\sum _{k=n}^{N_{n}}\lambda _{n,k}=1{\text{ et }}\forall k\in \{n,\ldots ,N_{n}\},~\lambda _{n,k}\in \mathbb {R} ^{+},}$

qui converge en norme vers x, c'est-à-dire telle que

${\displaystyle \lim _{n\to +\infty }\left\|y_{n}-x\right\|=0.}$

On[5] utilise les trois résultats suivants, valables dans tout espace vectoriel topologique localement convexe métrisable, en particulier dans un espace vectoriel normé :

1. l'adhérence de tout convexe est convexe ;
2. tout convexe fermé est faiblement fermé ;
3. tout point adhérent à une partie est limite d'une suite à valeurs dans cette partie.

Pour tout entier n > 0, soit C_n l'enveloppe convexe de l'ensemble des x_k pour k ≥ n. Son adhérence C_n est convexe d'après le point 1 donc faiblement fermée d'après le point 2, si bien que C_n contient l'adhérence faible de C_n, qui elle-même contient x par hypothèse. D'après le point 3, il existe donc y_n ∈ C_n tel que ‖x – y_n‖ < 1/n.