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Lemme de Barbalat

Le lemme de Barbalat est un résultat d'analyse démontré par le mathématicien roumain Ion Barbălat en 1959[1]. Il est parfois utilisé dans l'étude des équations différentielles.

Énoncé

Lemme de Barbălat — Soit une fonction uniformément continue dont l'intégrale sur (au sens de Riemann) converge.

Alors .

Contre-exemple

Le triangle centré en est d'aire .

L'hypothèse d'uniforme continuité est essentielle, même si la fonction est positive. En effet, si l'on considère la fonction affine par morceaux f définie par :

et f est nulle ailleurs, la fonction f est bien intégrable, car : .

Or, ne tend pas vers en (elle n'est même pas bornée).

Références

  1. I. Barbălat, « Systèmes d’équations différentielles d’oscillations non linéaires », Rev. Roumaine Math. Pures Appl., vol. 4,‎ , p. 267-270.
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