Lemme d'Artin-Rees

La démonstration ci-dessous est essentiellement celle de Bourbaki (due en fait à Cartier) et a été reprise par Lang.

Dans l'anneau de polynômes A[X], considérons la sous-A-algèbre

${\displaystyle B=\oplus _{n\in \mathbb {N} }I^{n}X^{n}.}$

A étant noethérien, I est un idéal de type fini de A et B est une A-algèbre de type fini. C'est donc un anneau noethérien.

Notons

${\displaystyle M_{X}=A[X]\otimes _{A}M=\oplus _{n\in \mathbb {N} }X^{n}M,}$

et définissons de même ${\displaystyle N_{X}}$. Ainsi, ${\displaystyle N_{X}}$ est un sous-A[X]-module de ${\displaystyle M_{X}}$, en particulier un sous-B-module.

Définissons un autre sous-B-module de ${\displaystyle M_{X}}$ :

${\displaystyle M'_{X}=B\otimes _{A}M=\oplus _{n\in \mathbb {N} }X^{n}I^{n}M.}$

Comme M est un A-module de type fini, ${\displaystyle M'_{X}\,}$ est un B-module de type fini, donc noethérien. Le sous-B-module ${\displaystyle M'_{X}\cap N_{X}}$ est donc engendré par un nombre fini de vecteurs. Soit k un entier majorant le degré en X de tous ces vecteurs. Alors,

${\displaystyle \oplus _{n\in \mathbb {N} }X^{n}((I^{n}M)\cap N)=M'_{X}\cap N_{X}=B{\Bigl (}\bigoplus _{j=0}^{k}X^{j}{\bigl (}(I^{j}M)\cap N{\bigr )}{\Bigr )},}$

d'où, pour tout ${\displaystyle n\geq k}$,

${\displaystyle I^{n}M\cap N=\sum _{j=0}^{k}I^{n-j}((I^{j}M)\cap N)=I^{n-k}\sum _{j=0}^{k}I^{k-j}((I^{j}M)\cap N)\subset I^{n-k}((I^{k}M)\cap N),}$

ce qui donne l'inclusion dans un sens. Celle dans l'autre sens est immédiate.

Notons ${\displaystyle N=\cap _{n>0}I^{n}M}$. Si un vecteur x de M est tel qu'il existe un élément α de I pour lequel (1-α)x=0 alors x=αⁿx pour tout entier n>0, donc x appartient à N. Pour la réciproque, remarquons que d'après le lemme, N=IN. Le lemme de Nakayama permet de conclure.