Karel Petr

Petr a apporté d'importantes contributions à la question des relations entre nombres de classes de formes quadratiques[5]. Les classes de formes binaires quadratiques à coefficients entiers, ${\displaystyle ax^{2}+2bxy+cy^{2}}$, à transformations linéaires inversibles à coefficients entiers près, sont, pour un déterminant ${\displaystyle <b^{2}-ac}$ donné, en nombre fini ; leur calcul a été entamé dans les Disquisitiones arithmeticae de Carl Friedrich Gauss en 1801. En 1860, Leopold Kronecker a publié, sans démonstration, des relations entre ces nombres de classes pour certaines familles de déterminant[6] - [7]. Kronecker s'appuyait sur la multiplication complexe des fonctions elliptiques ; Charles Hermite introduisit pour prouver ces relations et d'autres analogues une méthode fondée sur le développement en série des fonctions Θ[8]. C'est de cette dernière méthode que Petr s'inspire.

Il montre d'abord en 1900 des formules[9] comme :

${\displaystyle \Theta _{3}(0)\Theta _{1}(0)^{2}{\frac {\Theta ^{2}(v)\Theta _{1}(v)}{\Theta _{2}^{2}(v)}}=C\Theta _{1}(v)-8\sum _{1}^{\infty }\cos {(2n+1)\pi v}\cdot q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\sum _{1}^{n}kq^{-k^{2}},}$ où ${\displaystyle C=8\sum F(n)q^{n}.}$

Dans cette formule, F(n) est le nombre de classes de formes impaires (c'est-à-dire telles que a ou c soit impair) de discriminant -n. Les fonctions Θ (issus du Cours d'analyse de Camille Jordan) sont respectivement :

${\displaystyle \Theta _{1}(v)=2\sum _{0}^{\infty }q^{(n+{\frac {1}{2}})^{2}}\cos {(2n+1)\pi v},}$ ${\displaystyle \Theta _{2}(v)=1+2\sum _{0}^{\infty }(-1)^{n}q^{n^{2}}\cos {2n\pi v}}$, ${\displaystyle \Theta _{3}(v)=1+2\sum _{0}^{\infty }q^{n^{2}}\cos {2n\pi v}.}$

À l'aide d'autres identités et en identifiant les coefficients de ${\displaystyle \cos {\pi v}}$ de chaque côté des formules, il parvient à montrer des relations de récurrence comme

${\displaystyle F(n)+2F(n-1^{2})+2F(n-2^{2})+\cdots =\sum d_{2}-\sum d_{1},}$

où les ${\displaystyle d_{2}}$ sont les diviseurs d de n tels que n/d soit impair et les ${\displaystyle d_{2}}$ sont les diviseurs d de n inférieurs ou égaux à ${\displaystyle {\sqrt {n}}}$ tels que d et n/d ont même parité.

De ces formules et d'autres analogues, il peut prouver les relations de Kronecker et retrouver des résultats classiques sur le nombre de décompositions d'un entier en somme de trois carrés, c'est-à-dire le nombre de solutions en nombres entiers x, y, z de ${\displaystyle n=x^{2}+y^{2}+z^{2}}$.

Un an plus tard, avec les mêmes techniques, mais en faisant intervenir des transformations d'ordre supérieur des fonctions Θ, Petr obtient de nouveaux types de relations comme ${\displaystyle \sum _{\infty }^{\infty }(-1)^{k}F(n-2k^{2})=\sum (-1)^{x+y-1}x,}$ où x et y est une solution entière de ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=n}$, y est positif ou nul et x est supérieur ou égal à 2y (lorsque ${\displaystyle y=0}$ ou ${\displaystyle x=2y}$, le terme correspondant de la somme doit être multiplié par ½).

Ce résultat semble le premier cas d'utilisation de la théorie des fonctions elliptiques et des fonctions theta dans les relations de nombres de classes où intervient une forme quadratique indéfinie[10] (ici ${\displaystyle x^{2}-2y^{2}=n}$).

Petr obtient aussi, par exemple, pour les transformations d'ordre 5, la relation ${\displaystyle F(8n)-2F(8n-5\cdot 1^{2})+2F(n-5\cdot 2^{2})-\cdots =-4\sum x}$, avec ${\displaystyle x^{2}-5y^{2}=2n}$, y positif ou nul et x supérieur à 5y[10]. Il généralise cette relation quelques années plus tard et obtient de nouvelles expressions pour le nombre de solutions de ${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}+5t^{2}=n}$ en nombres entiers[11]. Il traite d'autres cas dans les années suivantes. Ses recherches seront reprises et développées par Georges Humbert et Jacques Chapelon.

Les contributions de Petr à la théorie des nombres incluent aussi les sommes de dix et douze carrés, le théorème de Wilson (dont il donne une preuve géométrique), les équations diophantiennes, en particulier celle dite de Pell-Fermat, et le symbole de Legendre-Jacobi[12].

Les travaux de Petr en algèbre concernent la théorie des invariants et le théorème de Sturm.

En 1921, dans la suite des travaux de Charles Sturm, James Joseph Sylvester et Adolf Hurwitz, Petr construit, pour toute équation de degré pair n=2m, une suite de 2m+2 polynômes tels que s'ils sont évalués en un nombre réel ξ, le nombre de changements de signes fournit le nombre des racines de l'équation de départ dont la partie réelle est supérieure à ξ. Il en déduit une nouvelle preuve algébrique du théorème fondamental de l'algèbre (ici pour les équations de degré pair). Des variantes de ces méthodes permettent de trouver le nombre de racines de partie réelle positive ou de racines dont la valeur absolue est inférieure à un nombre positif donné[13].

Théorème de Petr-Douglas-Neumann dans le cas d'un pentagone. Le pentagone de départ est ABCDE (en noir). Le pentagone FGHIJ, à la première étape, est construit ici avec un angle de 72°, le suivant, KLMNO, avec un angle de 144°. Le polygone en rouge, PQRST, construit avec un angle de 216° est régulier.

En 1908, Petr prouve le théorème de géométrie suivant : soit un polygone à n côtés ${\displaystyle A_{1}A_{2}\ldots A_{n}}$ et ${\displaystyle a_{i}={\frac {2i\pi }{n}}}$, avec i= 1, 2, …, n-1. Si l'on construit sur chaque côté ${\displaystyle A_{k}A_{k+1}}$ du polygone un triangle isocèle ${\displaystyle A_{k}A'_{k}A_{k+1}}$dont les angles égaux sont de mesure ${\displaystyle a_{i}}$, pour un i fixé, alors l'ensemble des n nouveaux sommets ${\displaystyle A'_{k}}$ de ces triangles définit un nouveau polygone à n côtés. On peut réitérer le processus, en choisissant à chaque fois un angle différent (c'est-à-dire un i différent), dans un ordre arbitraire. À la fin, on obtient un point unique ; à l'étape précédente un polygone à n côtés régulier, de même centre de gravité que le polygone de départ.

Ce théorème généralise celui dit de Napoléon sur les triangles. Il a été redémontré indépendamment par Jesse Douglas en 1940, puis par Bernhard H. Neumann en 1941. Il est maintenant connu sous le nom de théorème de Petr—Douglas—Neumann, ou théorème PDN[14].