Intégration des fonctions réciproques

Soit I₁ et I₂ deux intervalles de ℝ. Supposons que f : I₁ → I₂ est une bijection continue et soit f ⁻¹ : I₂ → I₁ sa bijection réciproque (on démontre que f ⁻¹ est également continue, donc f et f ⁻¹ admettent des primitives). Si F désigne une primitive de f, les primitives de f ⁻¹ sont de la forme

${\displaystyle \int f^{-1}(y)\,{\rm {d}}y=yf^{-1}(y)-F(f^{-1}(y))+C^{te}.}$

Preuve sans mots du théorème

• Si f ⁻¹ est supposée dérivable, le théorème ci-dessus s'ensuit immédiatement par dérivation[1] - [2] (première méthode).
• Si f est supposée dérivable, le théorème s'obtient par changement de variable (en posant y = f(x)), suivi d'une intégration par parties[3].

Ces deux cas particuliers du théorème sont en fait équivalents puisque (cf. ci-dessous) son énoncé peut se reformuler de façon symétrique en f et f ⁻¹. La première méthode s'adapte au cas où f ⁻¹ est seulement absolument continue[4]. La seconde s'adapte au cas général : il suffit de raisonner sur des intégrales de Stieltjes[4].

• Si f(a) = c et f(b) = d, le théorème se réécrit :${\displaystyle \int _{c}^{d}f^{-1}(y){\rm {d}}y+\int _{a}^{b}f(x){\rm {d}}x=bd-ac.}$La figure ci-contre[1] - [5] - [6] est une preuve sans mots de cette formule (proche sous cette forme de l'inégalité de Young), que l'on peut expliciter en termes d'intégrales de Riemann-Darboux[5] - [6].
• On peut aussi vérifier simplement qu'en tout point y de I₂, le nombre dérivé de la fonction y ↦ yf ⁻¹(y) – F(f ⁻¹(y)) est bien égal à f ⁻¹(y), c'est-à-dire que${\displaystyle \forall x\in I_{1}\quad \lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)f(x+h)-xf(x)-\left(F(x+h)-F(x)\right)}{f(x+h)-f(x)}}=x.}$Il suffit pour cela d'appliquer le théorème des accroissements finis à la fonction F entre x et x + h, puis de se souvenir que f est monotone.

1. Supposons que ${\displaystyle f(x)=\exp(x)}$, donc ${\displaystyle f^{-1}(y)=\ln(y)}$. La formule ci-dessus implique immédiatement${\displaystyle \int \ln(y){\rm {d}}y=y\ln(y)-y+C.}$
2. De même, avec ${\displaystyle f(x)=\cos(x)}$ et ${\displaystyle f^{-1}(y)=\arccos(y)}$, il vient${\displaystyle \int \arccos(y){\rm {d}}y=y\arccos(y)-\sin(\arccos(y))+C=y\arccos(y)-{\sqrt {1-y^{2}}}+C.}$
3. Avec ${\displaystyle f(x)=\tan(x)}$ et ${\displaystyle f^{-1}(y)=\arctan(y)}$, il vient${\displaystyle \int \arctan(y){\rm {d}}y=y\arctan(y)+\ln |\cos(\arctan(y))|+C=y\arctan(y)-{\frac {1}{2}}\ln(1+y^{2})+C.}$

Ce théorème d'intégration, accompagné de sa justification géométrique en termes d'aire, et d'une démonstration supposant f ⁻¹ dérivable, fut publié en 1905 par Charles-Ange Laisant[1], qui la jugeait « d'une telle simplicité qu'[il avait] peine à croire nouvelle [cette] règle », mais cherchait à la répandre dans l'enseignement. Le résultat fut publié indépendamment en 1912 par un ingénieur italien, Alberto Caprilli[7].

Le théorème a été traité dans des publications destinées à l'enseignement. En 1955, F. D. Parker souligne son intérêt pour les premières années universitaires et en donne plusieurs applications[8]. Dans son Calculus de 1967, Michael Spivak propose en exercice les trois premières preuves ci-dessus, en détaillant la troisième (par les sommes de Darboux), qui traite le cas général. Dans un article de 1994[6], Eric Key rédige cette démonstration, qui souligne l'adéquation dans ce cas de la définition formelle de l'intégrale à l'intuition géométrique donnée par l'aire et insiste sur l'intérêt du théorème en s'appuyant sur Parker.

Pour les fonctions holomorphes, on démontre la même formule par la première des preuves ci-dessus (transcrite en termes de différentiation complexe) :

Soient U et V deux ouverts simplement connexes du plan complexe. Supposons que f : U → V est un biholomorphisme, c'est-à-dire une bijection holomorphe dont la réciproque est holomorphe (f et f ⁻¹ admettent donc des primitives). Si F désigne une primitive de f, les primitives de f ⁻¹ sont de la forme

${\displaystyle G(z)=zf^{-1}(z)-F(f^{-1}(z))+C^{te}.}$

• (en) Elena Anne Marchisotto et Gholam-Ali Zakeri, « An invitation to Integration in finite terms », The College Mathematics Journal, vol. 25, n^o 4,‎ septembre 1994, p. 295-308 (DOI 10.2307/2687614, lire en ligne)
• (en) Richard Courant, Differential & Integral Calculus, vol. 1, 1937, 2^e éd. (1^re éd. 1934) (lire en ligne), p. 219
• (en) J. H. Staib, « The Integration of Inverse Functions », Mathematics Magazine, vol. 39, n^o 4,‎ septembre 1966, p. 223-224 (DOI 10.2307/2688087)