Indicateur de position

On trie les valeurs par ordre croissant.

• Si la population comporte n individus et si n est impair alors n = 2p+1, la médiane sera la (p+1)^e valeur du caractère statistique[3].

Exemple: série de 13 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11,12, 13, 16.

Médiane = M = 10

• Si la population comporte n individus et si n est pair alors n = 2p, la médiane sera la moyenne entre la p^e et (p+1)^e valeur du caractère statistique[3].

Exemple: série de 12 notes: 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 13, 16.

Médiane = M = 9,5

On utilise le polygone des fréquences cumulées croissantes et le tableau correspondant et on détermine graphiquement ou par interpolation linéaire la valeur M pour laquelle la fréquence de l'intervalle [valeur min, M] vaut 50 %[4].

Dans l'exemple développé dans statistiques élémentaires continues, le polygone des fréquences cumulées est le suivant :

La droite d'équation y = 50 coupe le polygone environ au point d'abscisse 21, ce qui donne une estimation de la médiane : M ≈ 21.

Remarque : Le polygone des fréquences cumulées croissantes et celui des fréquences cumulées décroissantes se coupent exactement en un point dont l'abscisse est la médiane[5].

Dans l'exemple précédent, le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

Les 50 % sont atteints entre 20 et 30 donc pour une valeur M que l'on estime à ${\displaystyle 20+(30-20){\dfrac {50-48,1}{81,7-48,1}}=20,56}$ par interpolation linéaire[5].

Les articles Statistiques élémentaires discrètes et Statistiques élémentaires continues expliquent ces formules.

Cas de la série statistique discrète triée mais non regroupée

On a alors la formule usuelle d'une moyenne[6]

${\displaystyle {\overline {x}}={\dfrac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}$

Cas de la série statistique discrète regroupée

On a la formule d'une moyenne pondérée[6]

${\displaystyle {\overline {x}}={\dfrac {\sum _{i=1}^{N}n_{i}x_{i}}{\sum _{i=1}^{N}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}f_{i}x_{i}}$

Cas de la série continue

On a la formule usuelle d'une moyenne pondérée de moyennes[6] - [2]

${\displaystyle *{\overline {x}}={\dfrac {\sum _{i=1}^{N}n_{i}m_{i}}{\sum _{i=1}^{N}n_{i}}}=\sum _{i=1}^{N}f_{i}m_{i}}$

où ${\displaystyle m_{i}}$ et ${\displaystyle n_{i}}$ sont respectivement le milieu et l'effectif de la classe d'indice i.

La moyenne est stable par transformation affine, c'est-à-dire[6] : si y_i = ax_i + b, si x est la moyenne de la série x alors la moyenne de la série y est y = ax + b.

Cette propriété est utile pour changer d'unité: si on connaît une moyenne de température en degré Fahrenheit, il est inutile de convertir toutes les valeurs en degrés Celsius pour calculer la moyenne en degrés Celsius, il suffit de ne convertir que la moyenne.

Il est aussi intéressant, pour limiter la taille des nombres, de partir d'un moyenne estimée et de calculer la moyenne des d_i = x_i – M_estim. Alors x = M_estim + d.

Si la population est découpée en deux sous-populations P₁ et P₂ de tailles n₁ et n₂, si la moyenne du caractère statistique pour la population P₁ est ${\displaystyle {\overline {x_{1}}}}$ et la moyenne pour la population P₂ est ${\displaystyle {\overline {x_{2}}}}$ alors la moyenne pour la population P est[7] ${\displaystyle {\overline {x}}={\dfrac {n_{1}{\overline {x_{1}}}+n_{2}{\overline {x_{2}}}}{n_{1}+n_{2}}}}$.

La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ou aberrantes[8].

Exemple : dans une entreprise, 9 salariés sont payés 2 000 € mensuels. Le patron se paie 22 000 € mensuels.

Le calcul du salaire moyen dans ces conditions conduit à une valeur non représentative :

${\displaystyle {\overline {x}}={\dfrac {9\times 2000+22000}{10}}=4000.}$

Pour éviter ce genre de piège, il arrive que l'on tronque volontairement la population et qu'on élimine un certain pourcentage des valeurs les plus hautes et les plus basses. C'est la moyenne tronquée[9].

Il existe plusieurs manières de définir les quartiles pour des variables discrètes[12].

Une des méthodes consiste à ranger les valeurs par ordre croissant.

On détermine le second quartile qui correspond à la médiane. Puis on cherche la médiane de la première moitié de la population qui correspond au 1^er quartile. On cherche la médiane de la seconde moitié de la population qui correspond au troisième quartile[13].

Si la population est de taille n, on distingue 4 cas.

Si n = 4p

• Q1 correspond à la moyenne entre la p^e et (p+1)^e valeur.
• Q2 correspond à la moyenne entre la (2p)^e valeur et la (2p+1)^e valeur.
• Q3 correspond à la moyenne entre la (3p)^e valeur et la (3p+1)^e valeur.

Exemple : série de 12 notes : 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 13, 16

Q1 = 7,5 ; Q2 = 9,5 ; Q3 = 10,5

Si n = 4p+1

• Q1 correspond à la (p+1)^e valeur.
• Q2 correspond à la (2p+1)^e valeur.
• Q3 correspond à la (3p+1)^e valeur.

Exemple : série de 13 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 13, 16

Q1 = 8 ; Q2 = 10 ; Q3 = 11

Si n = 4p+2

• Q1 correspond à la (p+1)^e valeur.
• Q2 correspond à la moyenne entre la (2p+1)^e valeur et la (2p+2)^e valeur.
• Q3 correspond à la (3p+2)^e valeur.

Exemple : série de 14 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11, 12,13, 16

Q1 = 8 ; Q2 = 9,5 ; Q3 = 11

Si n = 4p+3

• Q1 correspond à la (p+1)^e valeur.
• Q2 correspond à la (2p+2)^e valeur.
• Q3 correspond à la (3p+3)^e valeur.

Exemple : série de 15 notes 4, 5, 7, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 11,11, 12, 13, 16

Q1 = 8 ; Q2 = 10 ; Q3 = 11

Une méthode de calcul différente est sur l'article dédié : quartile.

On trouve fréquemment cette méthode de calcul pour une variable discrète[12] - [14]

On range les valeurs de la série x par ordre croissant et on repère la plus petite x_min.

• Le premier quartile Q1 est la première valeur pour laquelle l'intervalle [x_min, Q1] regroupe au moins 25 % de la population.
• Le deuxième quartile Q2 est la première valeur pour laquelle l'intervalle [x_min, Q2] regroupe au moins 50 % de la population.
• Le troisième quartile Q3 est la première valeur pour laquelle l'intervalle [x_min, Q3] regroupe au moins 75 % de la population.

On peut remarquer que cette approximation rend dissymétrique la définition, que le second quartile ne correspond plus forcément à la médiane et que les valeurs obtenues diffèrent de celles de la définition précédente. Son avantage est de rendre la recherche des quartiles (approchés) plus facile sans que l'on soit obligé de distinguer 4 cas. Les différences obtenues par l'une ou l'autre des méthodes se révèlent négligeables et justifient l'usage de cette approximation.

On calcule les quartiles comme la médiane, graphiquement grâce au polygone des fréquences cumulées croissantes, et par interpolation linéaire grâce au tableau correspondant.

Par le polygone des fréquences cumulées croissantes

Les droites d'équation y = 25, y = 50, y = 75 coupent le polygone en des points dont les abscisses valent environ 17, 21, 28.

Par le tableau des fréquences cumulées croissantes

Le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

25 % est atteint dans l'intervalle [16;20] soit pour une valeur de Q1 obtenue par interpolation linéaire[15]

${\displaystyle \mathrm {Q} 1=16+(20-16){\dfrac {25-21,1}{48,1-21,1}}=16,57.}$

Le second quartile correspond à la médiane estimée plus tôt

${\displaystyle \mathrm {Q} 2=M=120,56}$.

75 % est atteint dans l'intervalle [20;30] soit pour une valeur de Q3 obtenue par interpolation linéaire

${\displaystyle \mathrm {Q} 3=20+(30-20){\dfrac {75-48,1}{81,7-48,1}}=28,00.}$

On trouve fréquemment cette méthode de calcul pour une variable discrète[12] - [14] : le n^e décile D_n est la première valeur du caractère tel que l'intervalle [x_min, D_n] regroupe au moins n dixièmes de la population.

Exemple Série de 30 notes, 9^e décile = 27^e valeur.

4, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 10, 10,10, 10, 10, 11, 11, 11, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 16

Ainsi, D₉ = 14.

Mais d'autres méthodes de calculs sont possibles donnant des résultats proches de ceux-ci[16].

On calcule les déciles comme la médiane et les quartiles, graphiquement grâce au polygone des fréquences cumulées croissantes, et par interpolation linéaire grâce au tableau correspondant.

Les droites d'équation y = 10, y = 20, ... , y = 90 coupent le polygone en des points dont les abscisses valent environ D₁ = 10,5, D₂ = 15,5, ..., D₉ = 36,5

Le tableau des fréquences cumulées croissantes est :

10 % est atteint dans l'intervalle [8;12] soit pour une valeur de D₁ obtenue par interpolation linéaire[16]

${\displaystyle D_{1}=8+4{\dfrac {10-7}{12,3-7}}=10,26}$.

20 % est atteint dans l'intervalle [12;16] soit pour une valeur de D₂ obtenue par interpolation linéaire

${\displaystyle D_{2}=12+4{\dfrac {20-12,3}{21,1-12,3}}=15,50}$.

90 % est atteint dans l'intervalle [30;40] soit pour une valeur de D₉ obtenue par interpolation linéaire

${\displaystyle D_{9}=30+10{\dfrac {90-81,7}{94,7-81,7}}=36,38}$.