Inégalité de Tchebychev pour les sommes

L’inégalité de Tchebychev pour les sommes est due à Pafnouti Tchebychev. Elle est un cas particulier de l'inégalité FKG[1] et de l'inégalité de Harris. Elle ne doit pas être confondue avec l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Pafnouti Tchebychev, mathématicien à l'origine de cette inégalité

Énoncé

Inégalité de Tchebychev pour les sommes — Si $a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}\$ et $b_{1}\geq b_{2}\geq \cdots \geq b_{n},$ alors

{1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\geq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).

De même, si $a_{1}\geq a_{2}\geq \cdots \geq a_{n}$ et $b_{1}\leq b_{2}\leq \cdots \leq b_{n},$ alors

{1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\leq \left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}a_{k}\right)\left({1 \over n}\sum _{k=1}^{n}b_{k}\right).

Démonstration

Si les suites $(a_{k})_{1\leq k\leq n}$ et $(b_{k})_{1\leq k\leq n}$ sont décroissantes, on peut écrire :

\forall i,j\quad (a_{i}-a_{j})(b_{i}-b_{j})\geq 0.

En sommant selon i, on obtient donc :

\forall j\quad \sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-a_{j}\sum _{i}b_{i}-b_{j}\sum _{i}a_{i}+na_{j}b_{j}\geq 0.

Puis, en sommant cette fois selon j, on obtient :

n\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}-\sum _{j=1}^{n}a_{j}\sum _{i=1}^{n}b_{i}-\sum _{j=1}^{n}b_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i}+n\sum _{j=1}^{n}a_{j}b_{j}\geq 0,

d'où la première inégalité.

Plus généralement, l'inégalité vaut pour des suites monotones, mais le sens des inégalités change lorsque les suites concernées ont des sens de monotonie opposés.

Version continue : inégalité de corrélation

Il existe une version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes :

Théorème — Si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, intégrables sur [0, 1], toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), alors

\int _{0}^{1}fg\geq \int _{0}^{1}f\times \int _{0}^{1}g.

Une version plus générale est la suivante :

Inégalité de corrélation — Pour toute variable aléatoire réelle X, si f et g sont des fonctions à valeurs réelles, toutes deux croissantes (ou toutes deux décroissantes), telles que f(X) et g(X) soient de carré intégrables sur [0, 1], alors

{\text{Cov}}\left(f(X),\,g(X)\right)\geq 0,

ou bien, de manière équivalente,

\mathbb {E} \left[f(X)g(X)\right]\geq \mathbb {E} \left[f(X)\right]\mathbb {E} \left[g(X)\right].

L'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation par application du théorème de transfert pour les variables aléatoires réelles : il suffit de choisir, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme discrète sur $[\![1,n]\!],$ puis de poser f(i) = a_i et g(i) = b_i.
La version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes se déduit de l'inégalité de corrélation de manière analogue, en choisissant, dans l'inégalité de corrélation, une variable aléatoire réelle X suivant la loi uniforme continue sur [0, 1].
La démonstration de l'inégalité de corrélation est analogue à la démonstration de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, telle que donnée dans cette page : cette démonstration figure, comme premier pas de la démonstration de l'inégalité FKG, sur la page correspondante.

Référence

(en) C. M. Fortuin, P. W. Kasteleyn et J. Ginibre, « Correlation inequalities on some partially ordered sets », Commun. Math. Phys., vol. 22,‎ 1971, p. 89-103 (ISSN 0010-3616, présentation en ligne).

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