Inégalité FKG

• On définit une relation d'ordre partielle sur Ω comme suit : pour ${\displaystyle \scriptstyle \ (a,b)\in \Omega ,\ a=(a_{j})_{j\in J},\ b=(b_{j})_{j\in J},\ }$ on pose

${\displaystyle \{a\leq b\}\quad \Leftrightarrow \quad \{\forall j\in J,\ a_{j}\leq b_{j}\}.\ }$

Si on identifie Ω à l'ensemble des parties de J, la relation d'ordre ci-dessus s'interprète comme la relation d'inclusion. Ce parallèle ne tient plus si l'on veut généraliser de ${\displaystyle \scriptstyle \ \Omega =\{0,1\}^{J}\ }$ à ${\displaystyle \scriptstyle \ \Omega =E^{J},\ }$ pour un espace d'états E plus général que {0,1}.

• Comme d'ordinaire, une application X définie sur Ω, à valeurs réelles, est dite croissante si

${\displaystyle \{a\leq b\}\quad \Rightarrow \quad \{X(a)\leq X(b)\}.\ }$

• Une partie A de Ω est dite croissante si

${\displaystyle \{a\leq b\ {\text{et}}\ a\in A\}\quad \Rightarrow \quad \{b\in A\}.\ }$

De manière équivalente, une partie A de Ω est dite croissante si sa fonction indicatrice est croissante.

• La propriété de décroissance d'une application ou d'une partie a une définition analogue.

Modulo des hypothèses d'intégrabilité, dans le cas où l'espace de départ est muni d'une relation d'ordre totale, on a les inégalités suivantes :

Inégalité de corrélation —

• Soit deux variables aléatoires réelles X et Y définies et croissantes sur un ensemble ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathcal {O}}\ }$ totalement ordonné, muni d'une mesure de probabilité ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {Q} .\ }$ Alors

${\displaystyle \mathbb {E} \left[XY\right]\geq \mathbb {E} \left[X\right]\mathbb {E} \left[Y\right].\,}$

• Soit Z une variable aléatoire réelle définie sur un ensemble ${\displaystyle \scriptstyle \ \Omega \ }$ non nécessairement ordonné, et soit I un intervalle tel que ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {P} (Z\in I)=1.\ }$ Soit deux fonctions f et g définies et croissantes sur I. Alors

${\displaystyle \mathbb {E} \left[f(Z)g(Z)\right]\geq \mathbb {E} \left[f(Z)\right]\mathbb {E} \left[g(Z)\right].\,}$

Démonstration

• On considère l'espace produit ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathcal {O}}\times {\mathcal {O}}\ }$ muni de la probabilité produit ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {Q} \otimes \mathbb {Q} .\ }$ Du fait de la monotonie de X et de Y, l'application

${\displaystyle (\omega ,\omega ^{\prime })\quad \mapsto \quad \left(X(\omega )-X(\omega ^{\prime })\right)\left(Y(\omega )-Y(\omega ^{\prime })\right)}$

est positive ou nulle sur ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathcal {O}}\times {\mathcal {O}}.\ }$ Par conséquent

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \int _{{\mathcal {O}}\times {\mathcal {O}}}\ (X(\omega )-X(\omega ^{\prime })(Y(\omega )-Y(\omega ^{\prime })\ \mathbb {Q} \otimes \mathbb {Q} (d\omega ,d\omega ^{\prime })\\&=\int _{{\mathcal {O}}\times {\mathcal {O}}}\ [X(\omega )Y(\omega )+X(\omega ^{\prime })Y(\omega ^{\prime })-X(\omega )Y(\omega ^{\prime })-X(\omega ^{\prime })Y(\omega )]\ \mathbb {Q} \otimes \mathbb {Q} (d\omega ,d\omega ^{\prime })\\&=2\ \mathbb {E} \left[XY\right]-2\ \mathbb {E} \left[X\right]\mathbb {E} \left[Y\right],\end{aligned}}}$

où la première inégalité découle de la croissance de l'intégrale par rapport à une mesure. La dernière égalité provient de la linéarité de l'intégrale, et du Théorème de Fubini appliqué aux quatre intégrales obtenues à l'aide de la linéarité.

• La deuxième inégalité est une conséquence de la première, en spécialisant à ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathcal {O}}=I\ }$ et à ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {Q} =\mathbb {P} _{Z},\ }$ puis en appliquant le théorème de transfert. On peut aussi, de manière moins savante, considérer sur le même espace probabilisé Ω, deux variables indépendantes et de même loi, Z et Z', et remarquer que la variable ${\displaystyle \left(f(Z)-f(Z^{\prime })\right)\,\left(g(Z)-g(Z^{\prime })\right)}$

est positive ou nulle sur ${\displaystyle \scriptstyle \ \Omega .\ }$ Par conséquent

${\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \mathbb {E} \left[\left(f(Z)-f(Z^{\prime }\right)\,\left(g(Z)-g(Z^{\prime }\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[f(Z)g(Z)\right]+\mathbb {E} \left[f(Z^{\prime })g(Z^{\prime })\right]-\ \mathbb {E} \left[f(Z^{\prime })g(Z)\right]-\mathbb {E} \left[f(Z)g(Z^{\prime })\right]\\&=2\ \mathbb {E} \left[f(Z)g(Z)\right]-\ \mathbb {E} \left[f(Z^{\prime })\right]\mathbb {E} \left[g(Z)\right]-\mathbb {E} \left[f(Z)\right]\mathbb {E} \left[g(Z^{\prime })\right]\\&=2\ \mathbb {E} \left[f(Z)g(Z)\right]-\ 2\mathbb {E} \left[f(Z)\right]\mathbb {E} \left[g(Z)\right],\end{aligned}}}$

où on a utilisé à plusieurs reprises l'indépendance des deux variables Z et Z', et l'identité en loi de ces deux variables.

Là encore, on peut reformuler la deuxième inégalité sous la forme

${\displaystyle {\text{Cov}}\left(f(Z),g(Z)\right)\ \geq \ 0,}$

et là encore, on peut changer le sens de monotonie d'une ou deux des variables ou fonctions concernées, quitte éventuellement à changer le sens de l'inégalité.

L'inégalité de Tchebychev pour les sommes est une conséquence immédiate de l'inégalité de corrélation ci-dessus : il suffit de considérer le cas particulier où la variable aléatoire réelle Z suit la loi uniforme discrète sur ${\displaystyle \scriptstyle \ [\![1,n]\!].\ }$ De même, pour obtenir la version continue de l'inégalité de Tchebychev pour les sommes, on choisit, dans l'inégalité de corrélation ci-dessus, une variable aléatoire réelle Z suivant la loi uniforme continue sur [0,1].

On fait la démonstration dans le cas général où l'état global du système fini J est décrit par un élément ${\displaystyle \scriptstyle \ \omega =(\omega _{j})_{j\in J}\ }$ de ${\displaystyle \scriptstyle \ \Omega ={\mathcal {O}}^{J}.\ }$ L'état d'un élément j de J est décrit par un élément ${\displaystyle \scriptstyle \ \omega _{j}\ }$ de l'ensemble ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathcal {O}}\ }$ qui est, comme au paragraphe précédent, un ensemble totalement ordonné muni d'une mesure de probabilité ${\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {Q} .\ }$ Comme exemple, on peut penser à ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathcal {O}}=\mathbb {R} ,\ }$ mais l'inégalité FKG annoncée en début de page correspond au choix du cas particulier :

${\displaystyle {\mathcal {O}}=\{0,1\},\qquad \mathbb {Q} =(1-p)\delta _{0}+p\delta _{1}.}$

Le résultat démontré ici est donc (du moins dans le cas où J est fini) plus fort que l'inégalité FKG annoncée.

On suppose, sans perte de généralité, que ${\displaystyle \scriptstyle \ J=[\![1,n]\!],\ }$ et on fait une démonstration par récurrence. L'initialisation de la récurrence (cas n=1) a été l'objet de la section précédente : c'est la première version de l'inégalité de corrélation.

On note

${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {X}}(\omega _{n})&=\int _{{\mathcal {O}}^{n-1}}\ X(\omega )\ \mathbb {Q} (d\omega _{1})\dots \mathbb {Q} (d\omega _{n-1})\\&=\mathbb {E} \left[X\left|\omega _{n}\right.\right]\end{aligned}}}$

l'espérance conditionnelle de X sachant la n-ème coordonnée ${\displaystyle \scriptstyle \omega _{n}}$ de ω. On introduit de même ${\displaystyle \scriptstyle \ {\widehat {Y}}(\omega _{n})\ }$. Du fait de la croissance de X et de Y, et de la croissance de l'intégrale (ou de l'espérance conditionnelle), les variables aléatoires ${\displaystyle \scriptstyle \ {\widehat {X}}\ }$ et ${\displaystyle \scriptstyle \ {\widehat {Y}}\ }$ sont croissantes sur ${\displaystyle \scriptstyle \ {\mathcal {O}},\ }$ donc, en vertu de l'inégalité de corrélation,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[{\widehat {X}}{\widehat {Y}}\right]\geq \mathbb {E} \left[{\widehat {X}}\right]\mathbb {E} \left[{\widehat {X}}\right].\,}$

D'autre part, par propriété de l'espérance conditionnelle (ou, dans ce cas particulier, à cause du théorème de Fubini),

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[{\widehat {X}}\right]\mathbb {E} \left[{\widehat {Y}}\right]&=\mathbb {E} \left[\mathbb {E} \left[X\left|\omega _{n}\right.\right]\right]\ \mathbb {E} \left[\mathbb {E} \left[Y\left|\omega _{n}\right.\right]\right]\\&=\mathbb {E} \left[X\right]\mathbb {E} \left[Y\right].\end{aligned}}}$

Considérons maintenant que la n-ème coordonnée ${\displaystyle \scriptstyle \omega _{n}}$ de ω est fixée. On travaille alors sur ${\displaystyle \scriptstyle \ {\tilde {\Omega }}={\mathcal {O}}^{[\![1,n-1]\!]},\ }$ muni de l'espérance ${\displaystyle \scriptstyle \ {\tilde {\mathbb {E} }}\ }$ correspondant à la mesure produit :

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {\mathbb {E} }}\left[Z\right]&=\int _{{\mathcal {O}}^{n-1}}\ Z(\omega )\ \mathbb {Q} (d\omega _{1})\dots \mathbb {Q} (d\omega _{n-1}).\end{aligned}}}$

On considère les applications

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {X}}:\qquad &{\tilde {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} \\&(\omega _{1},\dots ,\omega _{n-1})\mapsto {\tilde {X}}(\omega _{1},\dots ,\omega _{n-1})=X(\omega _{1},\dots ,\omega _{n-1},\omega _{n})\end{aligned}}}$

et

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {Y}}:\qquad &{\tilde {\Omega }}\rightarrow \mathbb {R} \\&(\omega _{1},\dots ,\omega _{n-1})\mapsto {\tilde {Y}}(\omega _{1},\dots ,\omega _{n-1})=Y(\omega _{1},\dots ,\omega _{n-1},\omega _{n}),\end{aligned}}}$

qui sont croissantes sur ${\displaystyle \scriptstyle \ {\tilde {\Omega }}\ }$ et qui vérifient

${\displaystyle {\tilde {\mathbb {E} }}\left[{\tilde {X}}\right]={\widehat {X}}(\omega _{n})=\mathbb {E} \left[X\left|\omega _{n}\right.\right],}$

${\displaystyle {\tilde {\mathbb {E} }}\left[{\tilde {Y}}\right]={\widehat {Y}}(\omega _{n})=\mathbb {E} \left[Y\left|\omega _{n}\right.\right].}$

On a donc en vertu de l'hypothèse de récurrence (rang n – 1)

${\displaystyle \mathbb {E} \left[XY\left|\omega _{n}\right.\right]={\tilde {\mathbb {E} }}\left[{\tilde {X}}{\tilde {Y}}\right]\geq {\tilde {\mathbb {E} }}\left[{\tilde {X}}\right]{\tilde {\mathbb {E} }}\left[{\tilde {Y}}\right]={\widehat {X}}(\omega _{n}){\widehat {Y}}(\omega _{n}).}$

Finalement, avec la première inégalité,

${\displaystyle \mathbb {E} \left[XY\right]=\mathbb {E} \left[\mathbb {E} \left[XY\left|\omega _{n}\right.\right]\right]\geq \mathbb {E} \left[{\widehat {X}}{\widehat {Y}}\right]\geq \mathbb {E} \left[X\right]\mathbb {E} \left[Y\right].}$

À ce stade on a démontré l'inégalité FKG utile au modèle d'Erdős-Rényi, mais on n'a pas encore une inégalité FKG suffisamment puissante pour la théorie de la percolation. C'est l'objet de la section suivante.

La démonstration se fait à partir du cas fini, par passage à la limite, en utilisant un théorème de convergence presque sûre pour les martingales à carré intégrable. Voir Grimmett "Percolation", page 36, section 2.2.

• (en) Geoffrey Grimmett, Percolation, Springer
• (en) Harry Kesten, Percolation Theory for Mathematicians, Birkhaüser
• (en) Dietrich Stauffer (de) et Amnon Aharony, Introduction to Percolation Theory, London, Taylor and Francis, 1985