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Inégalité de Nesbitt

Énoncé

L'inégalité de Nesbitt est le cas particulier de l'inégalité de Shapiro pour trois nombres, qui donne une borne inférieure à un certain type de sommes et de ratios entre eux. Elle peut s'énoncer ainsi :

Inégalité de Nesbitt Soient Alors

Démonstration

Première démonstration : réarrangement

On suppose, sans perte de généralité, que . On a alors :

En appliquant deux fois l'inégalité de réarrangement, il vient :

et

En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :

c'est-à-dire

d'où on déduit l'inégalité de Nesbitt.

Deuxième démonstration : arithmético-harmonique

Par l'inégalité arithmético-harmonique sur ,

Après simplification,

duquel on obtient

après développement et rassemblement par dénominateur. D'où le résultat.

Troisième démonstration : Cauchy–Schwarz

En appliquant l'inégalité de Cauchy–Schwarz aux vecteurs , il vient

forme qui est similaire à la preuve précédente.

Quatrième démonstration : arithmético-géométrique

Nous appliquons premièrement une transformation de Ravi: posons . Nous pouvons alors appliquer l'inégalité arithmético-géométrique aux six valeurs pour obtenir

Après division par , on obtient

Substituons à présent pour :

qui, après simplification, donne le résultat.

Cinquième démonstration : lemme de Titu

Le lemme de Titu, conséquence directe de l'inégalité de Cauchy–Schwarz, indique que pour toute famille de réels et de réels postifs , . Nous utilisons ce lemme avec et avec les familles et :

Après développement

qui donne

Or, l'inégalité du réarrangement donne , ce qui prouve que la fraction de droite doit être inférieure à . Finalement,

Sixième démonstration : homogénéité

Puisque la partie gauche de l'inégalité est homogène, nous pouvons supposer . En posant , , et . Il suffit de montrer , c'est-à-dire, . Une simple application du lemme de Titu fournit le résultat.

Septième démonstration : Jensen

Nous supposons ici aussi . On recherche alors le minimum de

.

Or est convexe sur , donc d'après l'inégalité de Jensen :

,

D’où l'inégalité voulue.

Bibliographie

  • (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Nesbitt's inequality » (voir la liste des auteurs).
  • (en) J. Michael Steele, The Cauchy-Schwarz Master Class : An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Cambridge University Press, , 1re éd., 316 p. (ISBN 0-521-54677-X, lire en ligne), Exercice 5.6, page 84.
  • (en) A. M. Nesbitt - Problem 15114, Educational Times, numéro 2, pages 37-38, 1903.
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