Démonstration
Première démonstration : réarrangement
On suppose, sans perte de généralité, que
.
On a alors :
En appliquant deux fois l'inégalité de réarrangement, il vient :
et
En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :
c'est-à-dire
d'où on déduit l'inégalité de Nesbitt.
Deuxième démonstration : arithmético-harmonique
Par l'inégalité arithmético-harmonique sur
,

Après simplification,

duquel on obtient

après développement et rassemblement par dénominateur. D'où le résultat.
Troisième démonstration : Cauchy–Schwarz
En appliquant l'inégalité de Cauchy–Schwarz aux vecteurs
, il vient

forme qui est similaire à la preuve précédente.
Quatrième démonstration : arithmético-géométrique
Nous appliquons premièrement une transformation de Ravi: posons
. Nous pouvons alors appliquer l'inégalité arithmético-géométrique aux six valeurs
pour obtenir
![{\displaystyle {\frac {\left(x^{2}z+z^{2}x\right)+\left(y^{2}z+z^{2}y\right)+\left(x^{2}y+y^{2}x\right)}{6}}\geq {\sqrt[{6}]{x^{2}z\cdot z^{2}x\cdot y^{2}z\cdot z^{2}y\cdot x^{2}y\cdot y^{2}x}}=xyz.}](https://img.franco.wiki/i/ccc7ddd90f04bf1774a37f066336de70a7bf679e.svg)
Après division par
, on obtient

Substituons à présent
pour
:


qui, après simplification, donne le résultat.
Cinquième démonstration : lemme de Titu
Le lemme de Titu, conséquence directe de l'inégalité de Cauchy–Schwarz, indique que pour toute famille de
réels
et de réels postifs
,
. Nous utilisons ce lemme avec
et avec les familles
et
:

Après développement

qui donne

Or, l'inégalité du réarrangement donne
, ce qui prouve que la fraction de droite doit être inférieure à
. Finalement,

Sixième démonstration : homogénéité
Puisque la partie gauche de l'inégalité est homogène, nous pouvons supposer
. En posant
,
, et
. Il suffit de montrer
, c'est-à-dire,
. Une simple application du lemme de Titu fournit le résultat.
Septième démonstration : Jensen
Nous supposons ici aussi
. On recherche alors le minimum de
.
Or
est convexe sur
, donc d'après l'inégalité de Jensen :
,
D’où l'inégalité voulue.